[수리 논술] 지수함수와 미분을 활용한 극값

미적분 · 지수함수의 미분과 절대부등식 · 심층 수리논술

지수함수의 극값 탐색과 방정식·부등식의 기하학적 응용

[출제 의도]
지수함수와 다항함수가 결합된 형태의 함수를 미분하여 극값을 구하고 그래프의 개형을 추론할 수 있는가? 이를 바탕으로 수평선과의 교점을 통해 지수방정식의 실근의 개수를 구하고, 극대/최댓값을 이용하여 초월함수의 절대부등식을 증명하는 일련의 논리적 전개 능력을 평가한다.

상황 제시

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = x e^{-x}$ 가 있다.
(단, $e$는 자연로그의 밑이고, $\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0$, $\lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty$ 이다.)

이 함수의 그래프의 성질을 분석하여 방정식의 실근과 절대부등식을 판별하고자 할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 함수의 극값과 그래프 개형 (기초 역량)

함수 $f(x)$ 의 도함수를 구하여 극값을 판별하고, 이 함수의 최댓값을 구하시오.

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[문제 풀이]

함수 $f(x) = x e^{-x}$ 의 기하학적 개형

xy11/e극댓값 (최댓값)O

함수 $f(x) = x e^{-x}$ 의 극값을 판별하기 위해 곱의 미분법을 이용하여 도함수 $f'(x)$ 를 구합니다.

$$ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x} $$

모든 실수 $x$ 에 대하여 $e^{-x} \gt 0$ 이므로, $f'(x) = 0$ 이 되는 값은 $x = 1$ 입니다.

$x=1$ 의 좌우에서 $f'(x)$ 의 부호 변화를 살펴보면,

$x \lt 1$ 일 때, $1-x \gt 0$ 이므로 $f'(x) \gt 0$ (함수 증가)
$x \gt 1$ 일 때, $1-x \lt 0$ 이므로 $f'(x) \lt 0$ (함수 감소)

따라서 함수 $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 극대이며, 실수 전체 영역에서 유일한 극값이므로 이 극댓값이 곧 최댓값이 됩니다.
최댓값은 $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$ 입니다.

정답: $x=1$에서 최댓값 $\frac{1}{e}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
도함수 산출	곱의 미분법을 활용하여 $f'(x) = (1-x)e^{-x}$ 를 오류 없이 구함.	+10점
증감 및 극값 판별	도함수의 부호 변화를 통해 $x=1$에서 극대이자 최대임을 서술하고 값 $1/e$ 를 정확히 도출함. ※ 극대라는 사실만 적고 최댓값이라는 근거를 적지 않은 경우 -5점 감점	+10점

[문제 2] 지수방정식의 실근 개수 추론 (응용 역량)

방정식 $e^x \cdot k = x$ 가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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[문제 풀이]

곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=k$ 의 교점 분석

xy = kx₁x₂y = 1/e

주어진 방정식 $e^x \cdot k = x$ 의 양변을 $e^x$ 로 나눕니다. (모든 실수 $x$에 대하여 $e^x \gt 0$ 이므로 부등식 및 방정식 변형 시 모순이 생기지 않습니다.)

$$ k = \frac{x}{e^x} = x e^{-x} $$

이 방정식의 실근의 개수는 함수 $y = x e^{-x} = f(x)$ 의 그래프와 상수함수인 수평선 $y = k$ 의 교점의 개수와 정확히 일치합니다.

1번 문제에서 도출한 $f(x)$ 의 그래프 개형을 살펴보면,

원점 $(0, 0)$ 을 지나며, $x \to \infty$ 일 때 점근선은 $y = 0$ 이 됩니다.
$x = 1$ 에서 유일한 극댓값(최댓값) $\frac{1}{e}$ 를 가집니다.

따라서 직선 $y=k$ 를 위아래로 이동시켜 보면, 곡선 $y=f(x)$ 와 정확히 두 점에서 만나기 위한 조건은 수평선이 $x$축($y=0$)보다 위에 있고, 최댓값($y=1/e$)보다는 아래에 위치해야 함을 알 수 있습니다.

$$ 0 \lt k \lt \frac{1}{e} $$

정답: $0 \lt k \lt \frac{1}{e}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
방정식의 변형	방정식을 $k = f(x)$ 의 형태로 완벽히 분리하고 교점의 개수로 접근함을 서술함.	+10점
교점 조건 추론	점근선 $y=0$ 과 최댓값 사이의 영역에서 교점이 2개 형성됨을 파악하여 범위를 도출함. ※ 양 끝점(등호)을 잘못 포함시킨 경우 치명적 감점 -5점	+15점

[문제 3] 절대부등식의 증명과 응용 (심층 사고력)

위 1번의 결과를 이용하여 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $e^x \ge ex$ 가 성립함을 증명하고, 이를 기하학적 관점(접선)에서 해석하여 서술하시오.

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[문제 풀이]

곡선 $y=e^x$ 와 접선 $y=ex$ 의 기하학적 관계

xOy = e^xy = ex1e접점 (1, e)

1번 문제에서 함수 $f(x) = x e^{-x}$ 는 $x=1$ 에서 최댓값 $\frac{1}{e}$ 를 가짐을 확인했습니다.
따라서 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음의 절대부등식이 항상 성립합니다.

$$ x e^{-x} \le \frac{1}{e} $$

이 부등식의 양변에 양수인 $e \cdot e^x$ 를 곱해줍니다. (지수함수는 항상 양수이므로 부등호의 방향은 변하지 않습니다.)

$$ x e^{-x} \cdot (e \cdot e^x) \le \frac{1}{e} \cdot (e \cdot e^x) $$

지수법칙을 이용하여 식을 정리하면 좌변은 $ex$ 가 되고, 우변은 $e^x$ 가 됩니다.

$$ e x \le e^x \implies e^x \ge ex $$

위 부등식에서 등호는 $f(x)$ 가 최댓값을 갖는 지점인 $x=1$ 에서 성립합니다.

[기하학적 의미 서술] 위 절대부등식 $e^x \ge ex$ 는 기하학적으로 아래로 볼록한 지수함수 곡선 $y=e^x$ 가 원점을 지나는 직선 $y=ex$ 보다 항상 위쪽(또는 접함)에 위치함을 의미합니다. 특히 $x=1$ 일 때 두 그래프의 $y$좌표와 기울기(미분계수)가 모두 $e$ 로 일치하므로, 직선 $y=ex$ 는 곡선 $y=e^x$ 의 완벽한 접선이 되며 이 접점 $(1, e)$ 가 두 그래프의 유일한 교점입니다.

정답: 증명 완료 (등호 성립 및 접점 $x=1$)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
절대부등식 증명	1번에서 구한 최댓값을 활용하여 부등식을 설정하고 지수법칙으로 $e^x \ge ex$ 를 완벽히 증명함.	+10점
기하학적 접선 추론	부등식을 접선의 관점으로 해석하여 원점을 지나는 직선이 $y=e^x$ 에 접하는 상황을 논리적으로 서술함.	+15점

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