[청랑 수리논술] 지수방정식을 이용한 산술기하평균의 이해

수학 I · 지수함수와 다항방정식 · 심층 수리논술

지수방정식의 고차 치환과 실근의 위치 및 최솟값 추론

[출제 의도]
지수함수를 다항함수로 치환하여 고차방정식(3차)의 해법을 적용할 수 있는가? 공통인수를 찾아 인수분해하고, 도출된 2차방정식의 실근의 위치(근의 분리) 조건을 완벽하게 이해하여 적용할 수 있는가? 더 나아가 치환된 함수의 극값을 미분을 통해 구하고 원래 함수의 최솟값을 추론할 수 있는 심층적 사고력을 평가한다.

상황 제시

$x$에 대한 지수방정식 $8^x - 3 \cdot 4^x + (k+2)2^x - k = 0$ 이 있다. (단, $k$는 실수이다.)

이 방정식의 실근을 분석하기 위해 $t=2^x$ 로 치환할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 항등 근의 발견과 방정식 치환 (기초 역량)

$x=0$ 이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 위 방정식의 근이 됨을 보이고, $t=2^x$ 로 치환하여 얻은 $t$에 대한 3차방정식을 1차식과 2차식의 곱의 형태로 인수분해하시오.

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[문제 풀이]

지수함수 $t = 2^x$ 의 일대일 대응 구조

xt(0, 1)t > 0 (항상 양수)

주어진 지수방정식에 $x=0$을 대입하면 $8^0 = 1, 4^0 = 1, 2^0 = 1$ 이 되므로 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$$ 1 - 3 \cdot 1 + (k+2)\cdot 1 - k = 1 - 3 + k + 2 - k = 0 $$

계산 결과가 $k$의 값에 관계없이 항상 $0$이 되므로, $x=0$ 은 항상 주어진 방정식의 실근입니다.

이제 주어진 지수방정식을 $t = 2^x$ 로 치환합니다. ($t \gt 0$)
$4^x = (2^x)^2 = t^2$ 이고, $8^x = (2^x)^3 = t^3$ 이므로 방정식은 $t$에 대한 3차방정식이 됩니다.

$$ t^3 - 3t^2 + (k+2)t - k = 0 $$

앞서 $x=0$ 일 때 식이 성립함을 보였으므로, $t = 2^0 = 1$ 은 이 3차방정식의 근이 됩니다.
조립제법 또는 다항식의 나눗셈을 이용하여 $(t-1)$ 을 인수로 빼내면 다음과 같이 인수분해됩니다.

$$ (t-1)(t^2 - 2t + k) = 0 $$

정답: 항등식 증명 완료, $(t-1)(t^2 - 2t + k) = 0$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
항등 근의 증명	$x=0$ 을 대입하여 $k$ 값에 관계없이 $0=0$ 이 성립함을 바르게 서술함.	+10점
3차식의 인수분해	치환된 3차방정식에서 공통인수 $(t-1)$ 을 찾아내어 완벽한 2차식의 곱으로 유도함. ※ $t \gt 0$ 의 정의역 조건을 명시하지 않은 경우 -5점 감점	+15점

[문제 2] 실근의 위치(근의 분리)와 조건 추론 (응용 역량)

원래의 지수방정식이 정확히 두 개의 서로 다른 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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[문제 풀이]

함수 $y = f(t)$ 와 실근의 위치 조건

ty대칭축 t=1양수 실근t=2t=0

$t = 2^x$ 는 일대일 대응(단조증가)이므로, 원래의 지수방정식이 서로 다른 두 실근 $x$를 가지기 위해서는 치환된 변수 $t$ 역시 양수 구간($t \gt 0$)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.

앞서 도출한 방정식은 $(t-1)(t^2 - 2t + k) = 0$ 이므로 이미 $t=1$ (즉, $x=0$) 이라는 양수 근을 하나 확보했습니다.

따라서 나머지 이차방정식 $f(t) = t^2 - 2t + k = 0$ 이 $1$이 아닌 오직 하나의 양수 실근을 더 가져야만 총 2개의 양수 실근 $t$가 형성됩니다.
이차함수 $y = f(t)$ 의 대칭축은 $t=1$ 이므로 두 근은 $1$을 기준으로 좌우 대칭입니다.

1) $f(t)=0$ 의 두 근 중 하나가 양수, 하나가 $0$ 이하인 경우:
두 근의 합이 $2$이므로, 한 근이 $0$ 이하라면 다른 근은 $2$ 이상이 되어 자동으로 $1$과 다른 양수 근이 됩니다.
이 조건은 $y$절편 $f(0) \le 0$ 일 때 성립합니다.

$$ f(0) = k \le 0 $$

2) 중근을 가질 경우:
판별식 $D/4 = 1 - k = 0 \implies k=1$. 이 경우 $f(t) = (t-1)^2 = 0$ 이 되어 $t=1$ 중근을 가집니다. 그러나 우리는 $t=1$ 이외의 새로운 근이 필요하므로 조건에 부합하지 않습니다.

따라서 구하는 $k$의 범위는 $k \le 0$ 입니다.

정답: $k \le 0$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
실근 매핑 구조 해석	전체 3차식의 근 중 $t=1$ 이 있음을 인지하고, 나머지 2차식이 '1이 아닌 단 1개의 양수근'을 가져야 함을 서술함.	+15점
근의 분리 적용	대칭축이 $t=1$ 임을 이용해 $f(0) \le 0$ 일 때 한 근은 양수, 한 근은 음수/0이 됨을 논증하여 $k \le 0$ 을 도출함. ※ $k=0$ (중근 아님, 한 근이 0) 케이스를 누락하여 $k \lt 0$ 으로 적은 경우 -5점 감점	+15점

[문제 3] 함수의 극값과 최적화 (심층 사고력)

$k=0$ 일 때, 주어진 지수방정식의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 하자. 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$ 에서 함수 $g(x) = 8^x - 3 \cdot 4^x + 2 \cdot 2^x$ 의 최솟값을 구하시오.

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[문제 풀이]

치환된 3차함수 $h(t)$ 의 개형 및 최솟값 탐색

th(t)12탐색 구간 [1, 2]t = 1 + √3/3

$k=0$ 일 때, 1번 문제에서 도출한 방정식은 $(t-1)(t^2 - 2t) = t(t-1)(t-2) = 0$ 이 됩니다. 이 3차방정식의 근은 $t = 0, 1, 2$ 입니다.
치환 조건 $t = 2^x \gt 0$ 에 의해 양수 근은 $t=1, 2$ 이고, 이를 원래 변수로 되돌리면 다음과 같습니다.

$$ 2^x = 1 \implies x = 0 $$ $$ 2^x = 2 \implies x = 1 $$

따라서 $\alpha = 0, \beta = 1$ 이며, 우리가 구해야 할 범위는 닫힌구간 $[0, 1]$ 입니다.

$g(x)$ 를 $t = 2^x$ 로 치환한 함수를 $h(t)$ 라 하면, $x \in [0, 1]$ 일 때 $t \in [1, 2]$ 가 됩니다.

$$ h(t) = t^3 - 3t^2 + 2t \quad (1 \le t \le 2) $$

최솟값을 구하기 위해 도함수 $h'(t)$ 를 구합니다.

$$ h'(t) = 3t^2 - 6t + 2 = 0 \implies t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 6}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$

구간 $[1, 2]$ 에 속하는 극소점은 $t = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다. 양 끝점의 함숫값 $h(1)=0$, $h(2)=0$ 이므로 이 극소점이 곧 최솟값이 됩니다.
대입하여 계산 편의를 위해 $u = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 라 두면 $3u^2 = 1$ 이고 $t = 1+u$ 입니다.

$$ h(1+u) = (1+u)^3 - 3(1+u)^2 + 2(1+u) $$ $$ = (1+u) \{ (1+u)^2 - 3(1+u) + 2 \} $$ $$ = (1+u) (u^2 - u) = u^3 - u $$

$$ u^3 - u = u(u^2 - 1) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{3}}{9} $$

[논리적 의미 서술] 3차 함수 $h(t)$ 의 근이 일정 간격(0, 1, 2)으로 존재할 때, 극값은 두 근의 정확한 중간이 아니라 무리수 비율($1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$)로 나타난다는 점이 3차 함수의 기하학적 대칭성과 비율 관계를 보여주는 중요한 증명 포인트입니다.

정답: $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
구간 및 치환함수 설정	$\alpha=0, \beta=1$ 을 구하고 $x$의 구간을 $t \in [1, 2]$ 로 정확히 치환하여 3차함수를 구성함.	+10점
도함수와 극소점	미분을 통해 극소점이 되는 $t$ 좌표 $1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 도출함.	+10점
최솟값 대수적 계산	무리수를 포함한 다항식에 대입하여 식을 실수 없이 전개하고 최솟값을 도출함. ※ 계산 실수로 오답이 도출된 경우 10점 감점	+10점

 

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