[수리논술] 지수방정식의 치환과 3차함수의 극값을 활용

 

수학 I · 지수함수와 다항방정식 · 심층 수리논술

지수방정식의 고차 치환과 실근의 위치

[출제 의도]
지수함수를 다항함수로 치환하여 고차방정식(3차)의 해법을 적용할 수 있는가? 미분을 통해 3차 함수의 극값을 구하고, 도출된 방정식의 실근의 위치(근의 분리) 조건을 완벽하게 이해하여 적용할 수 있는가? 더 나아가 치환된 3차방정식의 근과 계수의 관계를 지수법칙과 융합하여 원래 실근의 합을 추론할 수 있는 심층적 사고력을 평가한다.

상황 제시

$x$에 대한 지수방정식 $8^x - 6 \cdot 4^x + 9 \cdot 2^x - k = 0$ 이 있다. (단, $k$는 실수이다.)

이 방정식의 실근을 분석하기 위해 $t=2^x$ 로 치환할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 방정식의 치환과 극값 탐색 (기초 역량)

$t=2^x$ 로 치환하여 얻은 $t$에 대한 함수 $g(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ ($t \gt 0$)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

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[문제 풀이]

치환된 3차 함수 $y = g(t)$ 의 기하학적 개형

tg(t)14극대 (1,4)3극소 (3,0)

주어진 방정식은 $(2^x)^3 - 6(2^x)^2 + 9(2^x) = k$ 로 변형할 수 있습니다.
$t = 2^x$ 로 치환하면, 지수함수의 성질에 의해 항상 $t \gt 0$ 입니다.
함수 $g(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ 라 할 때, 이 함수의 극값을 구하기 위해 미분합니다.

$$ g'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3) $$

$g'(t) = 0$ 이 되는 $t$의 값은 $t=1$ 또는 $t=3$ 입니다.
$t=1$ 일 때, $g(1) = 1^3 - 6(1^2) + 9(1) = 4$ 이며, 좌우에서 $g'(t)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값 4를 갖습니다.
$t=3$ 일 때, $g(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0$ 이며, 좌우에서 $g'(t)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 0을 갖습니다.

정답: 극댓값 4 (t=1), 극솟값 0 (t=3)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
치환과 미분	방정식을 $t$에 대한 3차 함수로 나타내고 도함수 $g'(t)$ 를 정확하게 구함. ※ $t \gt 0$ 조건을 서술하지 않은 경우 -5점 감점	+10점
극값의 계산	증감표 또는 그래프의 개형을 통해 $t=1$ 에서 극대, $t=3$ 에서 극소임을 판별하고 정확한 값을 계산함.	+15점

[문제 2] 양의 실근 조건과 근의 분리 (응용 역량)

원래의 지수방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근 $x$ 를 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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[문제 풀이]

교점의 개수와 $t \gt 1$ 역추적 모델

x > 0 ⇔ t > 1 영역1y = k

원래의 지수방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근 $x \gt 0$ 을 가지려면, 치환된 변수 $t = 2^x$ 는 어떤 범위를 가져야 할까요?
$x \gt 0$ 이면 밑이 $1$보다 큰 지수함수의 성질에 의해 $2^x \gt 2^0$, 즉 $t \gt 1$ 이 되어야 합니다.

따라서 이 문제는 $t$에 대한 3차 방정식 $g(t) = k$ 가 $t \gt 1$ 인 구간에서 서로 다른 두 실근을 가질 $k$의 범위를 구하는 문제로 바뀝니다.

1번 문제에서 그린 $y = g(t)$ 의 그래프를 살펴봅시다. $t \gt 1$ 인 영역에서 함수 $g(t)$ 는 극댓값 $g(1)=4$ 를 제외하고 그 아래로 내려가 극솟값 $g(3)=0$ 을 찍은 뒤 무한히 상승합니다.
이 구간 내에서 수평선 $y=k$ 가 곡선과 정확히 두 번 만나기 위해서는 $k$가 극솟값과 극댓값 사이에 존재해야 합니다. 단, $t=1$ 일 때는 $x=0$ 이 되어 양의 실근이 아니므로 극댓값은 제외됩니다.

$$ g(3) \lt k \lt g(1) $$

$$ 0 \lt k \lt 4 $$

정답: $0 \lt k \lt 4$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
정의역의 변환	원래 변수의 조건 $x \gt 0$ 을 치환된 변수의 조건 $t \gt 1$ 로 정확하게 매핑하여 서술함. ※ $t \gt 0$ 으로 잘못 착각하여 푼 경우 치명적 감점 -10점	+10점
교점의 탐색	$t \gt 1$ 구간에서 곡선과 $y=k$ 가 두 번 만나기 위한 조건을 그래프 개형을 통해 완벽하게 추론해냄.	+15점

[문제 3] 3차 방정식의 근과 계수의 관계 응용 (심층 사고력)

위 2번의 결과에서 주어진 지수방정식이 세 개의 서로 다른 실근 $x_1, x_2, x_3$ 를 가질 때, 세 근의 합 $S = x_1 + x_2 + x_3$ 의 범위를 구하고, 3차방정식의 근과 계수의 관계 및 지수법칙을 이용하여 그 이유를 논증하시오.

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[문제 풀이]

근과 계수의 관계와 지수법칙의 융합 구조

t₁ · t₂ · t₃ = k2^(x₁+x₂+x₃) = k0 < k < 4 조건 적용

방정식이 세 개의 서로 다른 실근 $x_1, x_2, x_3$ 를 가진다는 것은, $t$에 대한 3차 방정식 $t^3 - 6t^2 + 9t - k = 0$ 이 $t \gt 0$ 에서 세 개의 서로 다른 실근 $t_1, t_2, t_3$ 를 갖는다는 의미입니다.
위 그래프를 보면 곡선 $y=g(t)$ 가 극솟값 $0$ 과 극댓값 $4$ 를 가지므로, 수평선 $y=k$ 와 3번 만나기 위해서는 $k$의 범위가 $0 \lt k \lt 4$ 이어야 합니다.

이 3차 방정식의 세 근이 $t_1, t_2, t_3$ 이므로, 3차 방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 곱은 상수항의 부호 반대인 $k$와 같습니다.

$$ t_1 \cdot t_2 \cdot t_3 = k $$

여기서 $t$는 $2^x$ 로 치환한 변수이므로 $t_1 = 2^{x_1}$, $t_2 = 2^{x_2}$, $t_3 = 2^{x_3}$ 입니다. 지수법칙을 적용하여 좌변을 정리하면,

$$ 2^{x_1} \cdot 2^{x_2} \cdot 2^{x_3} = 2^{x_1 + x_2 + x_3} = k $$

세 근의 합을 $S = x_1 + x_2 + x_3$ 라 하면 $2^S = k$ 가 성립합니다.
그런데 3개의 실근을 가질 조건에 의해 $0 \lt k \lt 4$ 이므로 다음 부등식이 만들어집니다.

$$ 0 \lt 2^S \lt 4 $$

지수함수는 항상 양수이므로 $0 \lt 2^S$ 는 모든 실수 $S$에 대해 성립하며, 우변의 부등식 $2^S \lt 2^2$ 를 풀면 지수의 단조증가 성질에 의해 $S \lt 2$ 가 도출됩니다.

[논리적 의미 서술] 이 결과는 각각의 근을 직접 구하기 불가능한 고차 지수방정식이라 할지라도, 대수학의 기본정리(근과 계수의 관계)와 지수법칙($2^a \cdot 2^b = 2^{a+b}$)을 융합하면 '치환된 근들의 곱'이 '원래 근들의 합'으로 아름답게 맵핑된다는 수리논술의 핵심 통찰을 보여줍니다.

정답: $S \lt 2$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
3실근의 범위 추론	방정식이 3개의 실근을 가질 $k$의 범위를 극댓값/극솟값을 통해 $0 \lt k \lt 4$ 로 정확히 구함.	+10점
근과 계수의 관계	3차 방정식의 세 근의 곱이 $k$ 와 같음을 식에 명시함.	+10점
지수법칙 융합	치환된 근의 곱을 지수법칙을 통해 원래 실근의 합으로 바꾸어 $S \lt 2$ 를 완벽히 증명함.	+10점

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