[청랑 수리논술] 산술·기하평균 부등식으로 푸는 수학적 최적화

 

수학 (하) · 절대부등식과 최대최소 · 심층 수리논술

산술·기하평균의 기하학적 증명과 입체도형 최적화

[출제 의도]
산술평균과 기하평균의 대소 관계를 대수적 계산뿐만 아니라 기하학적 모델(반원)을 통해 증명할 수 있는가? 주어진 식의 형태를 변형하여 2변수 절대부등식을 적용하는 기본기를 점검하고, 이를 3개 이상의 변수를 가진 입체도형의 부피 최댓값 구하기 모델로 확장할 수 있는 심층적 문제 해결 능력을 평가한다.

상황 제시

임의의 양수 $a, b, c$에 대하여 산술평균과 기하평균 사이에는 항상 다음과 같은 절대부등식이 성립하며, 등호는 모든 변수가 같을 때 성립한다.

[2변수] $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (단, 등호는 $a=b$일 때 성립)
[3변수] $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$ (단, 등호는 $a=b=c$일 때 성립)

이 절대부등식의 성질을 바탕으로 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 기하학적 모델을 통한 증명 (기초 역량)

지름의 길이가 $a+b$ 인 반원이 있다. 지름 $AB$ 위에 선분 $AH = a$, 선분 $HB = b$ 가 되도록 점 $H$를 잡고, 점 $H$에서 지름 $AB$에 수직으로 선을 그어 반원과 만나는 점을 $C$라 하자. 반원의 중심을 $O$라 할 때, 선분 $OC$와 선분 $HC$의 길이를 각각 구하여 2변수 산술·기하평균 부등식을 증명하시오.

해설 및 모범 채점 기준 확인하기

수능 영어 1등급을 결정짓는 킬러 문항 정복

청랑북스 추천 도서

S-Class 수능 영어 킬러 마스터 1권

수능 영어 최상위권을 향한 30일의 여정! 단순히 영어 문장을 번역하는 수준을 넘어, 지문 전체의 뼈대를 파악하고 문장 간의 숨겨진 유기적 연결고리를 찾아내는 ‘논리적 사고력’을 길러드립니다.

상세 정보 및 구매하기 →

[문제 풀이]

산술·기하평균의 기하학적 시각화

선분 $AB$가 반원의 지름이므로 반원의 반지름 길이는 $\frac{a+b}{2}$ 입니다.
점 $O$가 반원의 중심이고 점 $C$는 반원 위의 점이므로 선분 $OC$는 반지름의 길이와 같습니다.

$$ OC = \frac{a+b}{2} $$

반원에 내접하는 원주각 성질에 의해 삼각형 $ABC$는 직각삼각형입니다 ($\angle C = 90^\circ$). 직각삼각형의 닮음비(소공식)에 의하여 수선의 길이 $HC$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$ HC^2 = AH \cdot HB = a \cdot b $$

$$ HC = \sqrt{ab} \quad (\because HC > 0) $$

만약 $a \neq b$ 라면 직각삼각형 $OHC$가 만들어집니다. 선분 $OC$는 빗변이고 선분 $HC$는 직각을 낀 한 변이므로 빗변인 $OC$가 항상 $HC$보다 큽니다. 만약 $a=b$ 라면 점 $H$와 중심 $O$가 일치하게 되어 $OC = HC$ 가 됩니다. 따라서 이를 종합하면 다음 부등식이 성립합니다.

$$ OC \ge HC \implies \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$

이때 등호는 점 $H$가 반원의 중심 $O$와 일치할 때, 즉 $a=b$일 때 성립합니다.

정답: 증명 완료 (등호 성립 조건: $a=b$)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
길이의 도출	반지름 $OC$가 산술평균, 수선 $HC$가 기하평균임을 직각삼각형의 성질을 이용해 바르게 서술함.	+10점
부등식과 등호조건	빗변 성질로 대소를 비교하고, 등호 성립 조건($a=b$)을 명시하여 논리적으로 완벽히 증명함. ※ 등호 성립 조건($a=b$) 누락 시 -5점 감점	+10점

[문제 2] 분수식의 변형과 최솟값 (응용 역량)

$x > 1$ 일 때, 함수 $f(x) = x + \frac{4}{x-1}$ 의 최솟값과 그때의 $x$ 값을 구하는 과정을 서술하시오.

해설 및 모범 채점 기준 확인하기

지문 구조를 꿰뚫는 완벽한 독해의 기술

청랑북스 추천 도서

S-Class 수능 영어 킬러 마스터 3권 (DAY21~30)

단순히 영어 문장을 번역하는 수준을 넘어, 지문 전체의 뼈대를 파악하고 문장 간의 숨겨진 유기적 연결고리를 찾아내는 '논리적 사고력'이 필요합니다. 30일 완성 마스터 플랜으로 상위 1%에 도전하세요.

상세 정보 및 구매하기 →

[문제 풀이]

함수 $f(x)$의 그래프와 최솟값

주어진 식에 산술·기하평균 부등식을 직접 적용하기 위해서는 두 항을 곱했을 때 문자가 소거되는 형태(역수 꼴)를 만들어 주어야 합니다. 분모가 $x-1$ 이므로 분자도 $x-1$ 의 꼴이 나타나게 변형합니다.

$$ f(x) = (x - 1) + \frac{4}{x-1} + 1 $$

문제의 조건에서 $x > 1$ 이므로 $x - 1 > 0$ 이고 $\frac{4}{x-1} > 0$ 입니다.
양수 조건이 만족되므로, 산술·기하평균 부등식을 적용하면 다음과 같습니다.

$$ (x - 1) + \frac{4}{x-1} \ge 2 \sqrt{(x - 1) \cdot \frac{4}{x-1}} = 2 \sqrt{4} = 4 $$

따라서 함수 $f(x)$ 의 최솟값은 양변에 $1$을 더해 도출할 수 있습니다.

$$ f(x) \ge 4 + 1 = 5 $$

등호 성립 조건은 더해지는 두 항이 같을 때이므로,

$$ x - 1 = \frac{4}{x-1} \implies (x-1)^2 = 4 $$

$x > 1$ 이므로 $x-1 = 2$, 즉 $x=3$ 일 때 최솟값을 갖습니다.

정답: 최솟값 $5$ (이때 $x=3$)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
식의 변형	역수 꼴을 활용하기 위해 상수항을 빼고 더하는 식으로 정확하게 분리함.	+10점
최솟값 및 등호조건	부등식을 적용하여 최솟값 5를 구하고, 양수 조건 및 $x=3$인 상황을 정확히 서술함. ※ 양수 조건($x-1>0$)을 명시하지 않은 경우 -5점 감점	+15점

[문제 3] 3변수 부등식과 입체도형의 최적화 (심층 사고력)

밑면이 한 변의 길이가 $x$인 정사각형이고 높이가 $y$인 '뚜껑이 없는' 직육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자의 겉넓이가 $27$ 로 일정할 때, 3개 이상의 변수에 대한 산술·기하평균 부등식을 이용하여 상자의 부피 $V$의 최댓값을 구하시오. (단, 두께는 무시한다.)

해설 및 모범 채점 기준 확인하기

비문학 독해와 논술 실력을 동시에 잡는 기적의 15분

청랑북스 추천 도서

하루 15분, 시사 논술 필사

단순히 글자를 따라 적는 연습에 그치지 않고, '논술 공식 → 쟁점 분석 → 핵심 어휘 → 예시 답안 필사'로 이어지는 체계적 프로세스로 논리적 글쓰기 실력과 비문학 독해력을 동시에 끌어올려 줍니다.

상세 정보 및 구매하기 →

[문제 풀이]

뚜껑 없는 직육면체 상자 모델

뚜껑이 없는 직육면체의 겉넓이가 $27$ 이므로, 밑면의 넓이와 4개의 옆면의 넓이의 합은 다음과 같이 표현됩니다.

$$ x^2 + 4xy = 27 $$

구하고자 하는 상자의 부피는 $V = x^2 y$ 입니다.
부피 식인 $x^2 y$ 형태를 만들기 위해 겉넓이 식을 산술·기하평균 부등식에 대입할 수 있는 3개의 변수 합으로 쪼갭니다. 이때 $4xy$ 를 두 개의 $2xy$ 로 분리합니다.

$$ x^2 + 2xy + 2xy = 27 $$

세 양수 $x^2, 2xy, 2xy$ 에 대하여 3변수 산술·기하평균 부등식을 적용하면,

$$ x^2 + 2xy + 2xy \ge 3 \sqrt[3]{x^2 \cdot 2xy \cdot 2xy} $$

$$ 27 \ge 3 \sqrt[3]{4 x^4 y^2} $$

여기서 부피 $V = x^2 y$ 이므로 $x^4 y^2 = V^2$ 이 됩니다. 식을 정리하면,

$$ 9 \ge \sqrt[3]{4V^2} $$

양변을 세제곱하면,

$$ 729 \ge 4V^2 \implies V^2 \le \frac{729}{4} $$

$$ V \le \sqrt{\frac{729}{4}} = \frac{27}{2} = 13.5 $$

등호 성립 조건은 세 항이 모두 같을 때, 즉 $x^2 = 2xy$ 일 때 성립합니다. $x>0$ 이므로 $x = 2y$ 입니다. 이를 겉넓이 식에 대입하면 $4y^2 + 8y^2 = 12y^2 = 27$ 이 되어, $y = \frac{3}{2}, x = 3$ 에서 부피 최댓값을 가집니다.

[논리적 의미 서술] 이 결과는 미분(도함수)을 사용하지 않고도 대수적인 절대부등식을 활용하여 3차원 입체 도형의 최적화(부피 최대화) 문제를 해결할 수 있음을 보여줍니다. 상수합의 조건을 변수들의 대칭적 분할($4xy$를 $2xy$ 두 개로 쪼갬)을 통해 곱(부피)으로 연결하는 과정은 식을 다루는 매우 세련된 수학적 통찰력입니다.

정답: $\frac{27}{2} \text{ (또는 13.5)}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
방정식의 수립	겉넓이 식 $x^2 + 4xy = 27$ 과 부피 식 $V = x^2 y$ 를 정확히 도출함.	+10점
항의 대칭적 분할	부피 식 $x^4 y^2$을 이끌어내기 위해 $4xy$ 를 $2xy + 2xy$ 로 분리하는 핵심 아이디어를 사용함. ※ 항을 분리하지 못해 미분으로 푼 경우 (부등식 미사용) 10점 감점	+15점
최댓값 계산	3변수 산술기하평균 부등식에 대입하고 식을 정리하여 최댓값 $13.5$ 를 정확히 구함.	+10점

스스로 깨우치는 진짜 코칭

청랑학습코칭이 궁금하시다면?

상담 신청하기 →

 

청랑 학습코칭이란 무엇인가요?

청랑 학습코칭은 단순한 성적 향상을 위한 스킬을 가르치지 않습니다. 학습자의 인지 성향을 정밀하게 분석하여, 부모가 주도하는 사교육이 아닌 아이가 스스로 공부하는 동기를 깨우는 데 집중합니다.

아이가 '왜 공부해야 하는지'를 깨닫고 스스로 변화를 선택할 때, 비로소 성적은 결과로 따라옵니다.

수동적인 라이딩 인생에서 벗어나, 아이의 자생력을 단단하게 키우고 싶은 부모님을 위한 진짜 학습코칭을 경험해 보세요.

© 2026 청랑학습코칭(JADEWOLVES). All Rights Reserved.
무단 전재 및 재배포 금지.