지수함수의 접선과 정적분이 만드는 기하학적 극한
지수함수의 도함수를 이용하여 접선의 방정식을 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분으로 정확히 계산할 수 있는가? 더 나아가 복잡한 형태의 극한값을 고등학교 교육과정 내의 개념인 '정적분과 도함수의 관계' 및 '함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)'를 활용하여 엄밀하게 논증할 수 있는가?
좌표평면 위에 곡선 $C: y = e^x - 1$ 이 있다. 제1사분면 위의 점 $P(t, e^t - 1)$ (단, $t > 0$)에서 곡선 $C$ 에 접하는 직선을 $l$ 이라 하자.
곡선 $C$, 접선 $l$, 그리고 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오. (단, $e$는 자연로그의 밑이다.)
접선 $l$ 의 방정식을 구하고, 직선 $l$ 이 $x$축과 만나는 점 $Q$ 의 $x$좌표를 $t$ 에 대한 식으로 나타내시오.
문제 1 모범 답안 및 채점 기준 확인
정답: $y = e^t x - t e^t + e^t - 1$, 점 $Q$의 $x$좌표는 $t - 1 + e^{-t}$
$y = e^x - 1$ 을 미분하면 $y' = e^x$ 이다.
점 $P(t, e^t - 1)$ 에서의 접선 $l$ 의 기울기는 $e^t$ 이다.
직선 $l$ 의 방정식은 $y - (e^t - 1) = e^t(x - t)$ 이고, 정리하면 $y = e^t x - t e^t + e^t - 1$ 이다.
$x$절편을 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입하면,
$e^t x = t e^t - e^t + 1$
양변을 $e^t$ 로 나누면 $x = t - 1 + \frac{1}{e^t} = t - 1 + e^{-t}$ 이다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 (루브릭) | 배점 |
|---|---|---|
| 방정식 도출 | 도함수를 이용하여 접선 $l$ 의 방정식을 정확하게 구함 | +10점 |
| 교점 계산 | $y=0$을 대입하여 $x$절편의 식을 $e^{-t}$ 꼴로 올바르게 정리함. ※ 단순 계산 실수 시 -5점 감점 |
+10점 |
넓이 $S(t)$ 를 $t$ 에 대한 식으로 나타내시오.
문제 2 모범 답안 및 채점 기준 확인
정답: $S(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) - 1$
-
넓이 S(t)
곡선 $y=e^x-1$은 아래로 볼록(convex)한 함수이므로 접선 $l$은 항상 곡선보다 아래쪽에 위치합니다. - 적분 식 설정: 피적분 함수는 반드시 (곡선 $C$) - (접선 $l$) 순서로 빼야 양수의 넓이가 도출됩니다.
$$ S(t) = \int_{0}^{t} \left( (e^x - 1) - (e^t x - t e^t + e^t - 1) \right) dx $$ $$ S(t) = \int_{0}^{t} \left( e^x - e^t x + t e^t - e^t \right) dx $$ $$ S(t) = \left[ e^x - \frac{1}{2} e^t x^2 + (t e^t - e^t)x \right]_{0}^{t} $$ 위끝 $t$ 와 아래끝 $0$ 을 대입하면,
$$ S(t) = \left( e^t - \frac{1}{2} t^2 e^t + t^2 e^t - t e^t \right) - (1 - 0 + 0) $$ 동류항을 정리하면 $S(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) - 1$ 이다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 (루브릭) | 배점 |
|---|---|---|
| 정적분 설정 | 곡선이 접선보다 위에 있음을 파악하고 피적분 함수를 바르게 설정함. | +15점 |
| 대수적 계산 | 부정적분 계산 후 아래끝 $0$ 을 대입할 때 나오는 상수항 $1$ 을 누락하지 않고 식을 정확히 도출함. ※ $x=0$ 일 때 $e^0=1$ 임을 간과하여 상수항을 빠뜨린 경우 -10점 감점 (치명적 함정) |
+15점 |
점 $P$ 가 곡선 $C$ 를 따라 원점 $O$ 에 한없이 가까워질 때, 극한값 $\lim_{t \to 0+} \frac{S(t)}{t^3}$ 을 구하시오. 또한 이 극한값이 내포하는 기하학적 의미를 '곡선과 접선의 차이' 관점에서 서술하시오.
문제 3 모범 답안 및 채점 기준 확인
정답: 극한값 $\frac{1}{6}$
이 극한은 $\frac{0}{0}$ 꼴이므로, 정적분과 도함수의 관계 및 샌드위치 정리(조임 정리)를 이용하여 해결할 수 있습니다.
함수 $S(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) - 1$ 을 미분하면,
$S'(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) + e^t (-1 + t) = \frac{1}{2}t^2 e^t$ 입니다.
$S(0) = 0$ 이므로 미적분학의 기본정리에 의해 $S(t) = \int_{0}^{t} S'(x) dx = \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 e^x dx$ 로 표현할 수 있습니다.
$0 < x < t$ 인 적분 구간에서 지수함수 $e^x$ 는 증가함수이므로 $1 < e^x < e^t$ 가 성립합니다.
각 변에 양수 $\frac{1}{2}x^2$ 을 곱하면, $\frac{1}{2}x^2 < \frac{1}{2}x^2 e^x < \frac{1}{2}x^2 e^t$ 가 됩니다.
이를 $0$ 부터 $t$ 까지 정적분하면 함수의 대소 관계에 의해 다음 부등식이 성립합니다.
$$ \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 dx < \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 e^x dx < \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 e^t dx $$ $$ \frac{1}{6}t^3 < S(t) < \frac{1}{6}t^3 e^t $$ $t > 0$ 이므로 양변을 $t^3$ 으로 나누면, $\frac{1}{6} < \frac{S(t)}{t^3} < \frac{1}{6}e^t$ 가 됩니다.
이때 $\lim_{t \to 0+} \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ 이고 $\lim_{t \to 0+} \frac{1}{6}e^t = \frac{1}{6}$ 이므로,
함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)에 의하여 $\lim_{t \to 0+} \frac{S(t)}{t^3} = \frac{1}{6}$ 입니다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 (루브릭) | 배점 |
|---|---|---|
| 도함수와 정적분 | $S'(t)$를 구하고 미적분학의 기본정리를 이용하여 적분식으로 표현함. | +10점 |
| 샌드위치 정리 | 부등식을 설정하고 정적분의 대소 관계 및 조임 정리를 사용하여 1/6을 엄밀하게 도출함. ※ 대학 과정인 로피탈의 정리를 증명 없이 사용하여 답만 낸 경우 10점 감점 처리[cite: 107, 108]. |
+15점 |
| 기하학적 추론 | 오차가 $x^2$에 비례하고 이를 적분하여 $t^3$ 꼴의 부피/넓이로 누적됨을 고교 과정 언어로 논리적으로 서술함. | +15점 |
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