[청랑 수리논술] 지수함수 접선과 정적분, 미적분 심화 문제 풀이

 

미적분 · 지수함수와 정적분 · 심층 수리논술

지수함수의 접선과 정적분이 만드는 기하학적 극한

[출제 의도]
지수함수의 도함수를 이용하여 접선의 방정식을 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분으로 정확히 계산할 수 있는가? 더 나아가 복잡한 형태의 극한값을 고등학교 교육과정 내의 개념인 '정적분과 도함수의 관계' 및 '함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)'를 활용하여 엄밀하게 논증할 수 있는가?

상황 제시

좌표평면 위에 곡선 $C: y = e^x - 1$ 이 있다. 제1사분면 위의 점 $P(t, e^t - 1)$ (단, $t > 0$)에서 곡선 $C$ 에 접하는 직선을 $l$ 이라 하자.

곡선 $C$, 접선 $l$, 그리고 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오. (단, $e$는 자연로그의 밑이다.)

[문제 1] 식의 도출 (기초 역량)

접선 $l$ 의 방정식을 구하고, 직선 $l$ 이 $x$축과 만나는 점 $Q$ 의 $x$좌표를 $t$ 에 대한 식으로 나타내시오.

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[문제 풀이]

$y = e^x - 1$ 을 미분하면 $y' = e^x$ 이다.
점 $P(t, e^t - 1)$ 에서의 접선 $l$ 의 기울기는 $e^t$ 이다.
직선 $l$ 의 방정식은 $y - (e^t - 1) = e^t(x - t)$ 이고, 정리하면 다음과 같다.

$$y = e^t x - t e^t + e^t - 1$$

$x$절편을 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입하고 양변을 $e^t$ 로 나누면 점 $Q$의 $x$좌표는 다음과 같다.

$$x = t - 1 + \frac{1}{e^t} = t - 1 + e^{-t}$$

정답: $y = e^t x - t e^t + e^t - 1$, 점 $Q$의 $x$좌표는 $t - 1 + e^{-t}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
방정식 도출	도함수를 이용하여 접선 $l$ 의 방정식을 정확하게 구함	+10점
교점 계산	$y=0$을 대입하여 $x$절편의 식을 $e^{-t}$ 꼴로 올바르게 정리함. ※ 단순 계산 실수 시 -5점 감점	+10점

[문제 2] 정적분과 넓이의 해석 (응용 역량)

넓이 $S(t)$ 를 $t$ 에 대한 식으로 나타내시오.

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[문제 풀이]

기하학적 넓이 영역 시각화 및 해석

•  
  넓이 S(t)
  곡선 $y=e^x-1$은 아래로 볼록(convex)한 함수이므로 접선 $l$은 항상 곡선보다 아래쪽에 위치합니다.
• 적분 식 설정: 피적분 함수는 반드시 (곡선 $C$) - (접선 $l$) 순서로 빼야 양수의 넓이가 도출됩니다.

$$S(t) = \int_{0}^{t} \left( (e^x - 1) - (e^t x - t e^t + e^t - 1) \right) dx$$

$$S(t) = \int_{0}^{t} \left( e^x - e^t x + t e^t - e^t \right) dx$$

$$S(t) = \left[ e^x - \frac{1}{2} e^t x^2 + (t e^t - e^t)x \right]_{0}^{t}$$

위끝 $t$ 와 아래끝 $0$ 을 대입하면,

$$S(t) = \left( e^t - \frac{1}{2} t^2 e^t + t^2 e^t - t e^t \right) - (1 - 0 + 0)$$

동류항을 정리하면 다음과 같습니다.

정답: $S(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) - 1$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
정적분 설정	곡선이 접선보다 위에 있음을 파악하고 피적분 함수를 바르게 설정함.	+15점
대수적 계산	부정적분 계산 후 아래끝 $0$ 을 대입할 때 나오는 상수항 $1$ 을 누락하지 않고 식을 정확히 도출함. ※ $x=0$ 일 때 $e^0=1$ 임을 간과하여 상수항을 빠뜨린 경우 -10점 감점	+15점

[문제 3] 극한과 논리적 추론 (심층 사고력)

점 $P$ 가 곡선 $C$ 를 따라 원점 $O$ 에 한없이 가까워질 때, 극한값 $\lim_{t \to 0+} \frac{S(t)}{t^3}$ 을 구하시오. 또한 이 극한값이 내포하는 기하학적 의미를 '곡선과 접선의 차이' 관점에서 서술하시오.

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[문제 풀이]

이 극한은 $\frac{0}{0}$ 꼴이므로, 정적분과 도함수의 관계 및 샌드위치 정리(조임 정리)를 이용하여 해결할 수 있습니다.

함수 $S(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) - 1$ 을 미분하면 다음과 같습니다.

$$S'(t) = e^t \left( 1 - t + \frac{1}{2}t^2 \right) + e^t (-1 + t) = \frac{1}{2}t^2 e^t$$

$S(0) = 0$ 이므로 미적분학의 기본정리에 의해 $S(t)$ 는 아래와 같이 표현됩니다.

$$S(t) = \int_{0}^{t} S'(x) dx = \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 e^x dx$$

$0 < x < t$ 인 적분 구간에서 지수함수 $e^x$ 는 증가함수이므로 $1 < e^x < e^t$ 가 성립합니다.
각 변에 양수 $\frac{1}{2}x^2$ 을 곱하면 다음과 같습니다.

$$\frac{1}{2}x^2 < \frac{1}{2}x^2 e^x < \frac{1}{2}x^2 e^t$$

이를 $0$ 부터 $t$ 까지 정적분하면 함수의 대소 관계에 의해 다음 부등식이 성립합니다.

$$\int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 dx < \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 e^x dx < \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x^2 e^t dx$$

$$\frac{1}{6}t^3 < S(t) < \frac{1}{6}t^3 e^t$$

$t > 0$ 이므로 양변을 $t^3$ 으로 나누면, $\frac{1}{6} < \frac{S(t)}{t^3} < \frac{1}{6}e^t$ 가 됩니다.
이때 극한값은 아래와 같습니다.

$$\lim_{t \to 0+} \frac{1}{6} = \frac{1}{6}, \quad \lim_{t \to 0+} \frac{1}{6}e^t = \frac{1}{6}$$

따라서 함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)에 의하여 극한값은 $\frac{1}{6}$ 입니다.

[기하학적 의미 서술] 이 결과는 원점 부근에서 지수함수 $e^x$와 그 접선의 차이가 대략 $\frac{1}{2}x^2$이라는 2차 함수 형태로 나타남을 보여줍니다. 두 그래프 사이의 오차 공간인 $S(t)$는 이 차이를 $0$부터 $t$까지 적분하여 누적한 값과 같으므로, 다항함수 적분 법칙에 따라 $\frac{1}{6}t^3$에 가까워짐을 뜻합니다. 고등학교 수학에서 배우는 '샌드위치 정리'를 통해 복잡한 초월함수의 극한을 다항함수처럼 근사하여 해석할 수 있다는 기하학적 의미를 가집니다.

정답: 극한값 $\frac{1}{6}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
도함수와 정적분	$S'(t)$를 구하고 미적분학의 기본정리를 이용하여 적분식으로 표현함.	+10점
샌드위치 정리	부등식을 설정하고 정적분의 대소 관계 및 조임 정리를 사용하여 1/6을 도출함. ※ 대학 과정(로피탈) 무단 사용 시 -10점	+15점
기하학적 추론	오차가 $x^2$에 비례하고 이를 적분하여 $t^3$ 꼴의 부피/넓이로 누적됨을 고교 과정 언어로 논리적으로 서술함.	+15점

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