[수리 논술] 지수함수의 최솟값과 지수방정식의 실근

수학 I · 지수함수와 방정식 · 심층 수리논술

지수함수의 최솟값을 이용한 지수방정식의 실근 개수와 근의 대칭성

[출제 의도]
지수함수의 치환 과정에서 나타나는 가장 기본적인 식 $2^x + 2^{-x}$ 에 대하여, 산술·기하평균 부등식을 이용하여 최솟값 조건을 엄밀하게 증명할 수 있는가? 이를 바탕으로 매개변수 $a$의 값에 따라 방정식의 실근의 개수를 분류하고, 그래프의 대칭성(우함수)을 이용하여 실근의 기하학적 성질을 논리적으로 추론하는 능력을 평가한다.

상황 제시

실수 $x$에 대하여 정의된 함수 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ 가 있다.
이 함수와 실수 $a$에 대하여 지수방정식 $2^x + 2^{-x} = a$ 의 실근을 분석하고자 할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 절대부등식의 증명 (기초 역량)

임의의 실수 $x$에 대하여 $2^x + 2^{-x} \ge 2$ 임을 논리적으로 증명하고, 등호가 성립할 조건을 구하시오.

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[문제 풀이]

함수 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ 의 기하학적 시각화

xyy=2^xy=2^-x2 (최솟값)

임의의 실수 $x$에 대하여 지수함수의 성질에 의해 $2^x \gt 0$ 이고 $2^{-x} \gt 0$ 입니다.
더해지는 두 항이 모두 양수이므로, 산술·기하평균 부등식을 적용할 수 있습니다.

$$ 2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} $$

여기서 지수법칙에 의해 근호 안의 값은 $2^x \cdot 2^{-x} = 2^{x-x} = 2^0 = 1$ 이 됩니다.

$$ \therefore 2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{1} = 2 $$

산술·기하평균 부등식에서 등호가 성립할 조건은 더해지는 두 항의 값이 같을 때입니다.

$$ 2^x = 2^{-x} \implies x = -x \implies 2x = 0 $$

따라서 등호는 $x = 0$ 일 때 성립합니다.

정답: 증명 완료 (등호 성립 조건: $x=0$)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
부등식 증명	지수함수가 양수임을 명시하고 산술·기하평균 부등식을 올바르게 적용하여 식을 이끌어냄. ※ 양수 조건을 서술하지 않은 경우 논리적 비약으로 -5점 감점	+15점
등호 성립 조건	$2^x = 2^{-x}$ 임을 풀이하여 $x=0$ 일 때 최소가 됨을 완벽히 계산함.	+15점

[문제 2] 매개변수에 따른 실근의 개수 분류 (응용 역량)

실수 $a$의 값에 따라 방정식 $2^x + 2^{-x} = a$ 가 갖는 서로 다른 실근의 개수를 분류하여 서술하시오.

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[문제 풀이]

곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=a$ 의 교점 개수 분석

xyy = a (a > 2) : 교점 2개y = a (a = 2) : 교점 1개y = a (a < 2) : 교점 0개

방정식 $2^x + 2^{-x} = a$ 의 실근의 개수는 좌표평면에서 곡선 $y = 2^x + 2^{-x}$ 와 수평인 직선 $y = a$ 가 만나는 교점의 개수와 같습니다.

1번 문제의 결과에 따라, 함수 $y = 2^x + 2^{-x}$ 의 최솟값은 $2$ 이며 이 값은 $x=0$ 에서 유일하게 가집니다. 따라서 그래프는 $(0, 2)$ 를 꼭짓점(최소점)으로 하여 위로 뻗어나가는 형태가 됩니다.

수평선 $y=a$ 의 위치를 변화시키며 교점의 개수를 확인하면 다음과 같습니다.

• $a \lt 2$ 인 경우: 직선이 곡선의 최솟값보다 아래에 있으므로 교점이 없습니다. 따라서 실근의 개수는 0개입니다.
• $a = 2$ 인 경우: 직선이 곡선의 최솟값에서 접하므로 교점이 1개($x=0$) 발생합니다. 따라서 실근의 개수는 1개입니다.
• $a \gt 2$ 인 경우: 직선이 곡선을 가로지르며 대칭적으로 두 군데에서 만나게 됩니다. 따라서 실근의 개수는 2개입니다.

정답: $a \lt 2$일 때 0개, $a = 2$일 때 1개, $a \gt 2$일 때 2개

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
교점 개념 접근	방정식의 실근을 함수 $y=f(x)$ 와 직선 $y=a$ 의 교점으로 치환하여 해석함을 명시함.	+10점
범위별 분류	최솟값 2를 기준으로 $a \lt 2, a = 2, a \gt 2$ 세 가지 구간으로 나누어 정확한 개수를 도출함. ※ 단 하나의 경우라도 누락하거나 범위를 잘못 설정한 경우 -10점 감점	+20점

[문제 3] 대칭성을 이용한 근의 성질 추론 (심층 사고력)

$a \gt 2$ 일 때, 방정식 $2^x + 2^{-x} = a$ 의 두 실근을 $\alpha, \beta$ 라 하자. 함수 $f(x)=2^x+2^{-x}$ 의 대칭성을 증명하고, 이를 이용하여 $\alpha + \beta$ 의 값을 논리적으로 구하시오.

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[문제 풀이]

우함수 대칭성과 두 근 $\alpha, \beta$ 의 관계

xyy = aα (-β)β

함수 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ 에 $x$ 대신 $-x$를 대입하여 대칭성을 조사합니다.

$$ f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = 2^x + 2^{-x} = f(x) $$

모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$ 가 성립하므로, 함수 $f(x)$ 는 **$y$축에 대하여 대칭인 우함수**입니다.

$a \gt 2$ 일 때 방정식 $f(x) = a$ 의 한 근이 $\beta$ 라고 가정합시다. 즉, $f(\beta) = a$ 입니다.
우함수의 성질 $f(-\beta) = f(\beta)$ 에 의해, $f(-\beta)$ 의 값 역시 $a$ 가 됩니다.

$$ f(-\beta) = a $$

이는 방정식 $f(x)=a$ 가 $x = \beta$ 를 근으로 가질 때, 반드시 $x = -\beta$ 도 근으로 가짐을 의미합니다.
방정식의 서로 다른 두 근이 $\alpha, \beta$ 이므로, 두 근은 부호가 반대이고 절댓값이 같은 관계 즉 $\alpha = -\beta$ 가 됩니다.

$$ \therefore \alpha + \beta = (-\beta) + \beta = 0 $$

[논리적 의미 서술] 2차 방정식처럼 근의 공식을 직접 사용하여 근을 구하기 힘든 지수방정식이라 할지라도, 원본 함수가 가진 강력한 '기하학적 대칭성(우함수)'을 증명해내면 두 근의 합이나 곱과 같은 유의미한 수치적 결론을 완벽하게 추론해낼 수 있음을 보여주는 수리논술의 핵심 논증입니다.

정답: $\alpha + \beta = 0$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
우함수 대칭성 증명	$f(-x)$ 에 식을 대입하여 $f(x)$ 와 일치함을 보임으로써 $y$축 대칭임을 완벽히 서술함.	+15점
근의 합 추론	대칭성을 통해 한 근이 $\beta$ 이면 다른 근은 $-\beta$ 가 됨을 논증하여 합이 0임을 도출함. ※ 대칭성에 대한 수식적 근거 없이 '그래프상 그래 보인다'로만 쓴 경우 10점 감점	+15점

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