(수능 수학) 수학II · 적분법 · 넓이 문제 풀이

수학 II · 적분법 · 넓이

접선 조건으로 a 결정 후 직선과 곡선으로 둘러싸인 넓이 계산

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를

$$f(x) = x^3 + 3ax^2 - 9a^2x + 2$$

라 하자. 직선 $y=3$이 곡선 $y=f(x)$에 접할 때,
직선 $y=3$과 곡선 $y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① $\dfrac{2}{3}$

② $1$

③ $\dfrac{4}{3}$

④ $\dfrac{5}{3}$

⑤ $2$

그래프 — $y = f(x)$ 와 직선 $y = 3$, 넓이 영역 $S$

풀이

1

$f'(x)$ 인수분해와 극값

$f(x) = x^3 + 3ax^2 - 9a^2x + 2$를 미분합니다.

$$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 + 6ax - 9a^2 \\ &= 3(x^2 + 2ax - 3a^2) \\ &= 3(x+3a)(x-a) \end{aligned}$$

$a > 0$이므로 $f'(x) = 0$의 근은 $x = -3a$ (극대), $x = a$ (극소)입니다.

2

접선 조건으로 $a$ 결정

직선 $y = 3$이 곡선에 접한다 $\Leftrightarrow$ $f(x) = 3$이 중근을 가집니다.

$f'(x) = 0$인 극값에서 접하므로, 극대점 $x = -3a$에서 접할 때:

$$\begin{aligned} f(-3a) &= (-3a)^3 + 3a(-3a)^2 - 9a^2(-3a) + 2 \\ &= -27a^3 + 27a^3 + 27a^3 + 2 \\ &= 27a^3 + 2 = 3 \end{aligned}$$

$$27a^3 = 1 \implies a^3 = \frac{1}{27} \implies a = \frac{1}{3}$$

$a > 0$이므로 $a = \dfrac{1}{3}$, 접점은 $\left(-1,\ 3\right)$ (극대점)

3

$a = \frac{1}{3}$ 대입 후 교점 인수분해 & 적분 구간 확정

$a = \dfrac{1}{3}$이면:

$$f(x) = x^3 + x^2 - x + 2$$

$f(x) = 3$, 즉 $f(x) - 3 = 0$을 풀면:

$$x^3 + x^2 - x - 1 = 0$$

$x = -1$이 이중근임을 이용해 인수분해:

$$= (x+1)^2(x-1) = 0$$

따라서 $x = -1$ (이중근, 접점), $x = 1$ (단순근, 교점)

적분 구간: $[-1,\ 1]$에서 $3 - f(x) \geq 0$

4

넓이 적분 계산

$$\begin{aligned} S &= \int_{-1}^{1} \bigl[3 - f(x)\bigr]\, dx \\ &= \int_{-1}^{1} \bigl[3 - (x^3 + x^2 - x + 2)\bigr]\, dx \\ &= \int_{-1}^{1} \bigl(1 + x - x^2 - x^3\bigr)\, dx \end{aligned}$$

$-(x+1)^2(x-1) = (x+1)^2(1-x)$를 이용한 공식 적용:

$$S = \int_{-1}^{1}(x+1)^2(1-x)\,dx$$

$t = x+1$로 치환 ($x = t-1$, $dx = dt$, 구간 $[0,2]$):

$$\begin{aligned} S &= \int_0^2 t^2(2-t)\,dt \\ &= \int_0^2 (2t^2 - t^3)\,dt \\ &= \left[\frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{4}\right]_0^2 \\ &= \frac{16}{3} - 4 \\ &= \frac{16}{3} - \frac{12}{3} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

잠깐! 위 계산은 $\int_{-1}^{1}(x+1)^2(1-x)\,dx = \dfrac{4}{3}$인데,
원래 피적분함수 $1+x-x^2-x^3$의 직접 계산으로 검증합니다.

$$\begin{aligned} &\int_{-1}^{1}(1+x-x^2-x^3)\,dx \\ &= \left[x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} \\ &= \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) - \left(-1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) \\ &= \frac{11}{12} - \left(-\frac{5}{12}\right) \\ &= \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \end{aligned}$$

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넓이 계산 최종 결과

$$\begin{aligned} S &= \int_{-1}^{1}\bigl[3 - f(x)\bigr]\,dx \\ &= \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2 \end{aligned}$$

정 답 ⑤ $2$

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