[수리 논술] 한 방향의 길이를 줄이면 넓이는 왜 같은 비율로 줄어들까

 

기하학 · 선형 변환과 넓이의 보존 · 심층 수리논술

한 축의 길이 변화가 전체 넓이에 그대로 반영되는 기하학적 비례 원리

[출제 의도]
다양한 평면 도형(직사각형, 삼각형, 원)에서 한 축(가로 또는 세로)의 길이만 일정한 비율로 변화할 때, 전체 도형의 넓이 역시 동일한 비율로 변화함을 귀납적이고 대수적인 방법으로 증명할 수 있는가? 가장 단순한 사각형부터 시작하여 곡선인 원과 타원의 관계까지 확장해 나가는 수학적 사고의 전개 능력을 평가한다.

상황 제시

우리는 평면 도형의 넓이를 구할 때 가로와 세로, 또는 밑변과 높이라는 두 가지 1차원적 요소의 곱을 이용한다. 만약 어떤 도형에서 한 방향(예: 가로)의 길이는 그대로 고정해 두고, 다른 한 방향(예: 세로)의 길이만 일정한 비율 $k$ (단, $0 \lt k \lt 1$)로 축소시킨다면, 원래 도형의 넓이와 새로운 도형의 넓이 사이에는 어떠한 관계가 성립할까?

이 기하학적 비례 법칙이 모든 형태의 도형에 동일하게 적용됨을 증명하기 위해, 다음 세 단계의 물음에 답하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 직사각형에서의 넓이 비례 증명 (기초 역량)

가로의 길이가 $a$, 세로의 길이가 $b$인 직사각형 $A$ 가 있다. 이 직사각형의 가로의 길이는 그대로 두고 세로의 길이만 $k$배 ($0 \lt k \lt 1$) 축소시킨 새로운 직사각형을 $B$ 라 할 때, 두 직사각형의 넓이의 비가 세로의 길이 비인 $1 : k$ 와 정확히 일치함을 대수적으로 증명하시오.

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[문제 풀이]

직사각형의 1차원 축소 모델

A (원본)B (축소)가로 a세로 bkbk배 축소

직사각형 넓이의 기본 공식을 바탕으로, 가로의 길이가 $a$, 세로의 길이가 $b$ 인 원래 직사각형 $A$ 의 넓이 $S_A$ 를 구하면 다음과 같습니다.

$$ S_A = a \times b = ab $$

문제의 조건에 따라, 가로의 길이는 그대로 $a$ 로 유지하고 세로의 길이만 $k$ 배 축소시킨 새로운 직사각형 $B$ 를 만듭니다. 이 새로운 직사각형의 가로는 $a$, 세로는 $kb$ 가 됩니다. 따라서 직사각형 $B$ 의 넓이 $S_B$ 는 다음과 같습니다.

$$ S_B = a \times (kb) = k(ab) $$

이제 두 직사각형의 넓이의 비를 구해보면,

$$ S_A : S_B = ab : k(ab) $$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 길이이므로 모두 양수입니다. 따라서 비례식의 양변을 양수 $ab$ 로 나눌 수 있습니다.

$$ S_A : S_B = 1 : k $$

결론적으로, 직사각형의 한쪽 변이 고정된 상태에서 다른 한 변이 $k$ 배로 줄어들면, 직사각형의 넓이 역시 정확하게 $k$ 배로 줄어듦을 증명할 수 있습니다.

정답: 원본 넓이 $ab$, 축소 넓이 $k(ab)$ 이므로 넓이의 비는 $1 : k$ 이다.

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
수식 모델링	원본 직사각형과 축소된 직사각형의 가로, 세로 길이를 명확히 파악하고 넓이 식을 올바르게 세움.	+15점
비례식 도출	두 넓이 식을 비례식으로 구성하고, $ab$ 를 약분하여 $1:k$ 의 비율을 완벽히 증명함.	+15점

[문제 2] 삼각형에서의 넓이 비례 증명 (응용 역량)

밑변의 길이가 $a$, 높이가 $h$인 임의의 삼각형 $C$ 가 있다. 밑변의 길이는 $a$ 로 고정하고, 꼭짓점의 위치를 수직 방향으로 $k$ 배 ($0 \lt k \lt 1$) 낮추어 높이가 $kh$ 인 새로운 삼각형 $D$ 를 만들었다. 두 삼각형의 넓이의 비가 $1 : k$ 로 동일하게 성립함을 증명하고, 이를 1번에서 증명한 '직사각형의 넓이 비례'와 기하학적으로 연관 지어 서술하시오.

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[문제 풀이]

삼각형의 수직 방향 1차원 축소 모델

a (밑변 고정)hkh

밑변이 $a$, 높이가 $h$ 인 원래 삼각형 $C$ 의 넓이 $S_C$ 를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$$ S_C = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2}ah $$

밑변의 길이는 $a$ 로 유지하고 높이만 $kh$ 로 축소시킨 새로운 삼각형 $D$ 의 넓이 $S_D$ 는 다음과 같습니다.

$$ S_D = \frac{1}{2} \times a \times (kh) = k \left( \frac{1}{2}ah \right) $$

두 삼각형의 넓이의 비를 구하면, 공통 인수인 $\frac{1}{2}ah$ 가 약분되어 다음과 같이 도출됩니다.

$$ S_C : S_D = \frac{1}{2}ah : k \left( \frac{1}{2}ah \right) = 1 : k $$

[직사각형과의 기하학적 연관성 서술]
삼각형의 넓이가 $1 : k$ 로 변하는 이유는 대수적 공식의 결과일 뿐만 아니라 기하학적으로도 필연적입니다. 모든 삼각형은 동일한 밑변과 높이를 가지는 '외접하는 직사각형' 넓이의 정확히 절반입니다. (즉, $\frac{1}{2}ah$) 1번 문제에서 증명했듯, 이 외접하는 직사각형의 높이가 $k$ 배로 줄어들면 직사각형의 넓이도 $k$ 배로 줄어듭니다. 따라서 그 직사각형 넓이의 절반을 차지하는 내부 삼각형의 넓이 역시 동일하게 $k$ 배의 비율로 줄어드는 동기화(Synchronization) 현상이 일어나는 것입니다.

정답: 원본 넓이 $\frac{1}{2}ah$, 축소 넓이 $k(\frac{1}{2}ah)$ 로 비례식 $1 : k$ 성립.

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
수식 모델링	원본 삼각형과 축소된 삼각형의 넓이 식을 각각 정확히 유도하고 비례식 $1:k$ 를 증명함.	+15점
기하학적 본질 통찰	삼각형이 직사각형 넓이의 절반이라는 기하학적 종속성을 바탕으로, 1번 문제의 결론이 연쇄적으로 적용됨을 훌륭하게 논증함. ※ 직사각형과의 관계를 서술하지 않은 경우 10점 감점	+15점

[문제 3] 원의 축소를 통한 타원 넓이의 증명 (심층 사고력)

이번에는 다각형이 아닌 곡선 도형에 적용해 보자. 반지름이 $a$ 인 원의 넓이는 $\pi a^2$ 이다. 좌표평면 상의 이 원을 $x$ 축 방향(가로)의 길이는 그대로 유지한 채, $y$ 축 방향(세로)으로만 일정한 비율 $\frac{b}{a}$ 배 ($b \lt a$)로 압축시킨 새로운 도형이 바로 가로 반지름이 $a$, 세로 반지름이 $b$ 인 '타원'이다.

앞선 1, 2번에서 증명한 '1차원적 축소와 2차원 넓이의 비례 법칙'이 수많은 미세 직사각형의 합(적분/카발리에리의 원리)으로 이루어진 곡선 도형에도 그대로 적용됨을 서술하고, 이를 통해 타원의 넓이 $S$ 가 $S = \pi ab$ 됨을 논리적으로 추론하시오.

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[문제 풀이]

카발리에리의 원리와 넓이 축소 모델

xΔx원 조각 (y)타원 조각 (y')y' = (b/a)y

직사각형과 다각형에서 증명된 '한쪽 변의 비례 축소는 전체 넓이의 비례 축소로 이어진다'는 원리는 곡선으로 이루어진 타원과 원에도 완벽하게 적용됩니다.

구분구적법(정적분의 원리)에 따라, 곡선으로 둘러싸인 원의 넓이는 무수히 얇은 두께($\Delta x$)를 가진 아주 작은 '미세 직사각형'들의 합으로 생각할 수 있습니다.
위 그래프에서 보듯, 특정 위치 $x$ 에 세워진 원의 미세 직사각형 조각은 밑변이 $\Delta x$, 높이가 $y$ 이므로 넓이는 $y \Delta x$ 입니다.
이때 원을 세로 방향으로 $\frac{b}{a}$ 배 압축하여 타원을 만들면, 이 미세 직사각형의 밑변 $\Delta x$ 는 그대로지만, 높이는 $y' = \frac{b}{a}y$ 로 $\frac{b}{a}$ 배 줄어듭니다.

1번 문제의 결론에 따라, 이 타원의 미세 직사각형 조각의 넓이는 원의 직사각형 조각 넓이의 정확히 **$\frac{b}{a}$ 배**가 됩니다.

$$ y' \Delta x = \left(\frac{b}{a}y\right) \Delta x = \frac{b}{a} (y \Delta x) $$

이러한 축소 비례 법칙은 원을 구성하는 무수히 많은 모든 미세 조각($n \to \infty$)에 동일하게 적용됩니다. (이를 카발리에리의 원리라 합니다.)
따라서 이 조각들을 모두 합친 '전체 타원의 넓이 $S$' 역시 '전체 원의 넓이 $\pi a^2$' 의 정확히 $\frac{b}{a}$ 배가 될 수밖에 없습니다.

$$ S = (\text{원의 넓이}) \times \frac{b}{a} = \pi a^2 \times \frac{b}{a} = \pi ab $$

결론적으로 복잡한 적분 계산 없이도, 기하학적 선형 변환의 본질을 꿰뚫어 보면 타원의 넓이 공식을 우아하게 증명할 수 있습니다.

정답: 무수히 얇은 직사각형 조각들의 높이가 각각 $\frac{b}{a}$배 줄어들므로, 그 합인 전체 넓이도 $\pi a^2 \times \frac{b}{a} = \pi ab$ 가 된다.

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
미세 조각 분할(적분 아이디어)	곡선을 얇은 직사각형 조각으로 나누어 비교하는 구분구적법(카발리에리의 원리)의 통찰을 서술함.	+20점
비례 법칙의 연쇄적 적용	각 조각의 높이가 $b/a$ 배 줄어들면, 넓이의 합(전체 넓이)도 $b/a$ 배 줄어듦을 논리적으로 연결하여 $\pi ab$ 를 도출함. ※ 미세 조각에 대한 언급 없이 '원은 타원과 비례하니까'라고 비약한 경우 10점 감점	+20점

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