[출제 의도] 평면도형인 원의 넓이를 극한(적분)의 아이디어로 증명하고, 이를 바탕으로 3차원 입체도형인 원기둥의 부피와 겉넓이를 대수적·기하학적으로 유도할 수 있는가? 더 나아가 단면적의 2차 비례 감소 모델을 정적분하여 원뿔의 부피가 원기둥 부피의 3분의 1이 됨을 논리적으로 서술하는 융합적 추론 능력을 평가한다.
상황 제시
인류는 곡선으로 이루어진 도형의 측정값을 구하기 위해, 도형을 한없이 작게 쪼개어 펼치거나 쌓아 올리는 '극한(Limit)'과 '적분(Integral)'의 아이디어를 고안해 냈다.
반지름의 길이가 $r$ 인 원과, 밑면의 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥 및 원뿔이 있다. 원의 둘레 공식이 $l = 2\pi r$ 임을 안다고 가정할 때, 다음 세 단계의 물음에 답하고 각 도형의 넓이와 부피 공식을 논리적으로 유도하시오.
[문제 1] 동심원 전개를 통한 원의 넓이 증명 (기초 역량)
반지름이 $r$ 인 원을 무수히 많은 얇은 동심원(양파 껍질 형태)으로 자른 뒤, 이 원의 테두리들을 잘라 평면 위에 일직선으로 차곡차곡 펼쳤다고 상상하자. 이 무수히 많은 선분들이 모여 어떤 모양의 평면도형을 이루는지 기하학적으로 설명하고, 이를 이용하여 원의 넓이 $S = \pi r^2$ 임을 증명하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
수능 영어 1등급을 결정짓는 킬러 문항 정복
청랑북스 추천 도서
S-Class 수능 영어 킬러 마스터 1권
수능 영어 최상위권을 향한 30일의 여정! 단순히 영어 문장을 번역하는 수준을 넘어, 지문 전체의 뼈대를 파악하고 문장 간의 숨겨진 유기적 연결고리를 찾아내는 ‘논리적 사고력’을 길러드립니다.
원의 넓이를 구하기 위해 반지름이 $r$ 인 원을 중심이 같은 무수히 많은 얇은 실반지들(동심원)의 집합으로 생각합니다. 원의 중심에서 중심각을 따라 반지름 방향으로 직선을 그어 이 원들을 끊은 뒤, 중심을 위쪽 꼭짓점으로 두고 가장 바깥쪽 테두리를 가장 아래쪽 밑변으로 하여 차곡차곡 평면에 펼칩니다.
중심에서 바깥쪽으로 나갈수록 동심원의 둘레 길이는 $0$ 에서부터 점차 길어지며, 가장 바깥쪽 원의 둘레는 $2\pi r$ 이 됩니다. 이 무수히 많은 선분들을 차곡차곡 쌓아 올리면, 이 도형은 밑변의 길이가 $2\pi r$ 이고 높이가 원의 반지름인 $r$ 과 완벽히 일치하는 직각삼각형(또는 이등변삼각형)에 수렴하게 됩니다.
삼각형의 넓이 공식은 $\frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})$ 이므로, 원의 넓이 $S$ 는 다음과 같이 유도됩니다.
$$ S = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times r = \pi r^2 $$
이 증명은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 우리가 잘 아는 다각형(삼각형)의 넓이로 변환하여 구하는 적분의 본질적 아이디어(구분구적법)를 보여줍니다.
정답: 밑변 $2\pi r$, 높이 $r$ 인 삼각형으로 수렴하며, 넓이는 $\frac{1}{2} \times 2\pi r \times r = \pi r^2$
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
극한 도형의 추론
동심원들을 펼치면 길이가 선형적으로 증가하여 '삼각형' 모양이 됨을 명확히 기하학적으로 서술함.
+15점
밑변과 높이 대응
근사된 삼각형의 밑변이 원의 둘레 $2\pi r$, 높이가 반지름 $r$ 임을 올바르게 매핑하여 공식을 도출함. ※ 삼각형의 넓이 공식을 적지 않고 수식만 전개한 경우 -5점 감점
+15점
[문제 2] 원기둥의 부피와 겉넓이 유도 (응용 역량)
밑면의 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥이 있다. '카발리에리의 원리(단면적 적분)'를 이용하여 원기둥의 부피 $V = \pi r^2 h$ 임을 증명하고, 원기둥을 펼친 '전개도'를 이용하여 겉넓이 $A$ 의 공식을 대수적으로 유도하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
지문 구조를 꿰뚫는 완벽한 독해의 기술
청랑북스 추천 도서
S-Class 수능 영어 킬러 마스터 3권 (DAY21~30)
단순히 영어 문장을 번역하는 수준을 넘어, 지문 전체의 뼈대를 파악하고 문장 간의 숨겨진 유기적 연결고리를 찾아내는 '논리적 사고력'이 필요합니다. 30일 완성 마스터 플랜으로 상위 1%에 도전하세요.
1) 원기둥의 부피 (카발리에리의 원리): 어떤 입체도형의 부피는 그 도형의 밑면과 평행한 단면적 $S(x)$ 를 바닥부터 높이 $h$ 까지 정적분하여 구합니다. 원기둥은 밑면이 반지름 $r$ 인 원이므로, 어느 높이 $x$ 에서 평행하게 자르더라도 그 단면은 항상 동일한 넓이의 원이 됩니다.
$$ S(x) = \pi r^2 \quad (\text{상수}) $$
이를 구간 $[0, h]$ 에서 적분하면,
$$ V = \int_{0}^{h} S(x) dx = \int_{0}^{h} \pi r^2 dx = \left[ \pi r^2 x \right]_{0}^{h} = \pi r^2 h $$
따라서 원기둥의 부피는 $(\text{밑넓이}) \times (\text{높이})$ 가 됨이 완벽하게 증명됩니다.
2) 원기둥의 겉넓이 (전개도 활용): 원기둥의 표면적을 구하기 위해 전개도를 펼치면, 2개의 원(밑면과 윗면)과 1개의 직사각형(옆면)으로 분리됩니다.
밑면의 넓이: 반지름이 $r$ 인 원이 위아래 2개 있으므로 $2 \times \pi r^2 = 2\pi r^2$ 입니다.
옆면의 넓이: 원기둥의 옆면을 펼치면 세로는 원기둥의 높이 $h$ 가 되고, 가로는 밑면 원의 테두리를 감싸고 있던 길이이므로 원의 둘레인 $2\pi r$ 이 됩니다. 직사각형의 넓이는 $(\text{가로}) \times (\text{세로})$ 이므로 옆넓이는 $2\pi r \times h = 2\pi rh$ 입니다.
임의의 높이 $x$ 에서 단면적이 상수 $\pi r^2$ 임을 파악하고 적분을 통해 부피를 정확히 계산함.
+10점
전개도와 가로 길이 매핑
전개도 상 직사각형의 가로 길이가 원의 둘레 $2\pi r$ 과 완벽히 대응됨을 기하학적으로 서술하여 옆넓이를 도출함. ※ 직사각형 가로 길이가 왜 $2\pi r$ 인지 서술하지 않으면 5점 감점
+15점
[문제 3] 단면적의 2차 비례와 원뿔의 부피 증명 (심층 사고력)
밑면의 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔이 있다. 원뿔의 꼭짓점을 원점($x=0$)으로 하고 아래로 내려갈수록 $x$ 가 커진다고 할 때, 임의의 깊이 $x$ 에서의 수평 단면의 반지름 $r'$ 과 단면적 $S(x)$ 를 닮음비를 이용하여 $x$ 의 함수로 나타내시오. 이를 $[0, h]$ 구간에서 정적분하여, 원뿔의 부피가 원기둥 부피의 $\frac{1}{3}$ 이 되는 미적분학적 필연성을 논증하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
비문학 독해와 논술 실력을 동시에 잡는 기적의 15분
청랑북스 추천 도서
하루 15분, 시사 논술 필사
단순히 글자를 따라 적는 연습에 그치지 않고, '논술 공식 → 쟁점 분석 → 핵심 어휘 → 예시 답안 필사'로 이어지는 체계적 프로세스로 논리적 글쓰기 실력과 비문학 독해력을 동시에 끌어올려 줍니다.
[미적분학적 통찰] 2번 문제의 원기둥 단면적은 깊이 $x$ 에 상관없이 항상 상수 $S(x) = \pi r^2$ 이었습니다. 그러나 원뿔은 꼭짓점으로 갈수록 가로축과 세로축 반경 2개가 동시에 축소되므로, 그 2차원 넓이인 단면적은 길이 축소 비율의 제곱인 $x^2$ 에 비례하여 줄어듭니다. 수학적으로 상수항을 적분하면 $x$ 가 되고, 이차항 $x^2$ 을 적분하면 $\frac{1}{3}x^3$ 이 됩니다. 기하학적으로 모든 뿔(원뿔, 사각뿔 등)의 부피 공식에 붙는 '계수 $\frac{1}{3}$'은 뿔의 단면적이 거리의 제곱으로 감소한다는 2차원적 성질과 다항식 적분 법칙이 만나 빚어낸 완벽한 수학적 필연성인 것입니다.
정답: 단면적 $S(x) = \frac{\pi r^2}{h^2}x^2$, 정적분 결과 원기둥 부피의 3분의 1인 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 도출 완료.
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
단면적 비율 추론
닮음비를 이용하여 임의의 깊이 $x$ 에서의 단면 반경 $r'$ 을 구하고 단면적이 2차 함수 형태인 $\frac{\pi r^2}{h^2}x^2$ 가 됨을 논리적으로 도출함.
+15점
정적분과 부피 도출
구한 단면적 $S(x)$ 를 구간 $[0, h]$ 에서 적분하여 계수 $\frac{1}{3}$ 이 발생함을 증명함. ※ 단면적 식 없이 결론 공식만 쓴 경우 0점 처리
댓글