[출제 의도] 삼각형의 세 점 또는 세 변으로부터 같은 거리에 있는 특별한 점들(외심, 내심, 방심)이 왜 필요한지 실생활 및 수학적 최적화 관점에서 이해하고, 이 점들이 유일하게 결정됨을 기하학적 성질(수직이등분선, 각의 이등분선)을 통해 논리적으로 증명하는 능력을 평가한다.
상황 제시
세 개의 다른 도시에 물건을 공급해야 하는 물류 센터를 짓는다고 상상해 보자. 물류 비용을 최소화하려면 세 도시로부터 '같은 거리'에 있는 한 점을 찾아야 한다. 반대로, 세 개의 고속도로에 모두 접하는 가장 큰 원형 공원을 조성하려면 세 도로로부터 '같은 수직 거리'를 유지하는 점을 찾아야 한다.
기하학에서 이처럼 특정한 제약 조건(점 또는 선)으로부터 동일한 거리를 유지하는 점을 찾는 과정에서 삼각형의 외심, 내심, 그리고 방심이 탄생하였다. 이 세 중심이 기하학적으로 왜 유일하게 존재하는지 다음 물음에 답하며 증명하시오.
[문제 1] 점들의 최적화: 외심(Circumcenter)의 증명
삼각형의 세 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 점을 '외심'이라 한다. 삼각형 $ABC$ 에서 선분 $AB$ 의 수직이등분선과 선분 $BC$ 의 수직이등분선이 만나는 교점이, 반드시 나머지 한 변인 선분 $AC$ 의 수직이등분선 위에도 존재함을 논리적으로 증명하고, 이 교점이 외심이 되는 이유를 서술하시오.
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선분의 수직이등분선 위에 있는 모든 점은 선분의 양 끝점으로부터 항상 같은 거리에 있다는 기본적인 기하학적 성질을 이용합니다.
1. 선분 $AB$ 의 수직이등분선을 $l$, 선분 $BC$ 의 수직이등분선을 $m$ 이라 하고, 두 선의 교점을 $O$ 라고 합시다. 2. 점 $O$ 는 선분 $AB$ 의 수직이등분선 $l$ 위에 있으므로 꼭짓점 $A$ 와 $B$ 에서 같은 거리에 있습니다. 즉, $\overline{OA} = \overline{OB}$ 입니다. 3. 동시에 점 $O$ 는 선분 $BC$ 의 수직이등분선 $m$ 위에도 있으므로 $\overline{OB} = \overline{OC}$ 가 성립합니다. 4. 위 두 사실을 논리적으로 결합하면 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$ 가 됩니다. 5. $\overline{OA} = \overline{OC}$ 라는 것은, 점 $O$ 가 선분 $AC$ 의 양 끝점으로부터 같은 거리에 있음을 의미하므로, 점 $O$ 는 필연적으로 선분 $AC$ 의 수직이등분선 위에도 존재하게 됩니다.
결론적으로 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 반드시 한 점 $O$ 에서 만나며, 이 점은 세 꼭짓점으로부터 거리가 모두 같으므로 세 꼭짓점을 지나는 외접원의 중심(외심)이 됩니다.
정답: 수직이등분선의 성질에 의해 $\overline{OA}=\overline{OB}$, $\overline{OB}=\overline{OC}$ 이므로 $\overline{OA}=\overline{OC}$ 가 되어 교점은 세 꼭짓점에서 등거리에 있는 외심이 된다.
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
수직이등분선의 성질 적용
교점 $O$ 에 대해 $\overline{OA} = \overline{OB}$ 와 $\overline{OB} = \overline{OC}$ 임을 수직이등분선의 성질로 올바르게 논증함.
+15점
논리적 귀결
이를 통해 $\overline{OA} = \overline{OC}$ 가 되어 교점 $O$ 가 나머지 변의 수직이등분선 위에 있음과 동시에 꼭짓점에서 등거리임을 결론지음.
+15점
[문제 2] 선들의 최적화: 내심(Incenter)의 증명
삼각형의 세 변으로부터 수직 거리가 같은 점을 '내심'이라 한다. 삼각형 $ABC$ 의 두 내각 $\angle B$ 와 $\angle C$ 의 이등분선이 만나는 교점이 내심이 됨을 증명하시오. (단, 각의 이등분선 위의 점은 그 각을 이루는 두 변으로부터 거리가 같다는 성질을 이용할 것.)
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1. 각 $B$ 의 이등분선과 각 $C$ 의 이등분선이 만나는 교점을 $I$ 라고 합시다. 2. 교점 $I$ 는 각 $B$ 의 이등분선 위에 있으므로, 점 $I$ 에서 변 $AB$ 와 변 $BC$ 에 내린 수선의 길이는 서로 같습니다. 3. 또한 점 $I$ 는 각 $C$ 의 이등분선 위에도 존재하므로, 점 $I$ 에서 변 $BC$ 와 변 $AC$ 에 내린 수선의 길이 역시 서로 같습니다. 4. 위 두 조건을 통해, 점 $I$ 에서 변 $AB$, $BC$, $AC$ 세 변에 이르는 거리는 모두 동일함을 알 수 있습니다. 5. 점 $I$ 가 변 $AB$ 와 변 $AC$ 에 이르는 거리가 같다는 것은, 점 $I$ 가 각 $A$ 의 이등분선 위에도 존재함을 증명합니다.
따라서 삼각형의 세 내각의 이등분선은 반드시 한 점 $I$ 에서 만나며, 이 점은 세 변으로부터 동일한 수직 거리를 유지하므로 삼각형의 내부에서 세 변에 모두 접하는 '내접원'의 중심인 내심이 됩니다.
정답: 각의 이등분선 성질에 의해 점 $I$ 에서 세 변에 이르는 수직 거리가 모두 같으므로 내심이 된다.
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
각의 이등분선 성질 적용
교점 $I$ 에서 변 $AB=BC$ 이고 변 $BC=AC$ 까지의 수직 거리가 같음을 각의 이등분선 성질을 통해 증명함.
+15점
논리적 귀결
결국 세 변까지의 거리가 모두 같아 교점이 각 $A$ 의 이등분선 위에 놓임과 동시에 내접원의 중심이 됨을 도출함.
+15점
[문제 3] 방심(Excenter)의 등장과 최적화의 철학적 필연성 (심층 사고력)
방심(Excenter)은 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선이 만나는 점으로, 한 변과 다른 두 변의 연장선에 모두 접하는 원의 중심이다.
앞선 외심, 내심과 더불어 방심까지, 기하학에서 이토록 다양한 '중심(Center)'들이 존재하는 이유를 '조건의 만족과 최적화(Optimization)'라는 철학적 관점에서 종합하여 논술하시오.
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기하학에서 점과 선은 공간을 구성하는 기본 단위입니다. 현실의 복잡한 문제를 해결할 때 인류는 종종 "여러 제약 조건(세 점, 또는 세 선)으로부터 거리가 같아지는 최적의 균형점"을 찾아야만 했습니다.
외심은 세 개의 '점(꼭짓점)'들로부터 등거리에 있는 해답을 제시합니다. 반면 내심과 방심은 세 개의 '선(변과 그 연장선)'들로부터 등거리에 있는 해답을 제시합니다. 즉, 삼각형 밖으로 연장된 선들까지 활용하여 닿을 수 없는 공간에서의 최적점을 찾는 확장된 사고가 방심을 탄생시킨 것입니다.
이러한 중심들은 삼각형 내외부에 존재하는 무수히 많은 임의의 점 중 하나가 아닙니다. 주어진 세 제약 조건 사이에서 거리가 완벽하게 일치하는 유일한 해(최적점)를 찾아내는 기하학적이고 대수학적인 필연성입니다. 수학에서 이토록 다양한 중심을 연구하는 이유는, 자연과 우주의 불규칙한 제약 속에서도 가장 완벽한 균형(대칭)을 이루는 최적화 지점을 찾으려는 인간 지성의 가장 논리적인 추구 과정이기 때문입니다.
정답: 기하학의 중심들은 점과 선이라는 제약 조건 속에서 등거리를 유지하는 '최적의 균형점'을 찾아내는 수학적 필연성이다.
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
기하학적 조건 분리
외심은 점(꼭짓점)에 대한 최적화, 내심과 방심은 선(변)에 대한 최적화임을 기하학적으로 올바르게 구분하여 논증함.
+15점
철학적/최적화 논증
단순한 작도를 넘어 주어진 제약 속에서 유일한 해(최적의 균형점)를 찾는 수학의 본질적 목표를 훌륭하게 짚어냄. ※ 최적화나 균형 탐구 등의 심층적인 의미가 누락된 경우 10점 감점
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