[수리 논술] 산술,기하평균 부등식은 어떻게 증명되고 최적화에 활용될까

 

수학 (하) · 절대부등식과 최대최소 · 심층 수리논술

산술·기하평균의 다각적 증명과 최적화 응용

[출제 의도]
절대부등식의 가장 핵심인 산술·기하평균 부등식을 공식으로만 암기하는 것을 넘어, 완전제곱식을 이용한 대수적 증명과 반원의 성질을 이용한 기하학적 증명을 스스로 유도할 수 있는가? 더 나아가 이를 실생활의 최적화 문제(둘레의 최소화)에 적용하고, 극값의 기하학적 의미를 추론하는 심층적 사고력을 평가한다.

상황 제시

임의의 두 양수 $a, b$에 대하여, 두 수의 합을 $2$로 나눈 산술평균은 $\frac{a+b}{2}$ 이고, 두 수의 곱의 양의 제곱근인 기하평균은 $\sqrt{ab}$ 이다.

이 두 평균 사이의 대소 관계를 분석하고 실생활에 응용하고자 할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 완전제곱식을 이용한 대수적 증명 (기초 역량)

임의의 양수 $a, b$ 에 대하여, 실수의 제곱은 항상 $0$ 이상이라는 성질을 이용하여 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 가 성립함을 대수적으로 증명하고, 등호가 성립할 조건을 서술하시오.

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[문제 풀이]

함수 $y = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ 의 최솟값 시각화

√ay√a = √b (최솟값 0)실수의 제곱은 항상 0 이상

임의의 실수 $x$ 에 대하여 $x^2 \ge 0$ 이 성립합니다. $a \gt 0, b \gt 0$ 이므로 $\sqrt{a}$ 와 $\sqrt{b}$ 도 실수입니다.
따라서 이들의 차의 제곱 역시 $0$ 이상이어야 합니다.

$$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 $$

위 식을 전개하면 다음과 같습니다.

$$ a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 $$

부등식을 정리하여 이항하면,

$$ a + b \ge 2\sqrt{ab} $$

양변을 $2$로 나누면 우리가 증명하고자 하는 절대부등식이 도출됩니다.

$$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$

이 부등식에서 등호가 성립하는 조건은 최초의 완전제곱식이 $0$이 될 때입니다.

$$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = 0 \implies \sqrt{a} = \sqrt{b} \implies a = b $$

정답: 증명 완료 (등호 성립 조건: $a=b$)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
완전제곱식 적용	실수의 제곱이 0 이상임을 이용하여 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ 식을 올바르게 세움.	+15점
등호 성립 조건	전개 및 이항 후 결과를 도출하고, 완전제곱식이 0이 되는 $a=b$ 조건을 명확히 서술함. ※ 등호 성립 조건을 누락한 경우 -5점 감점	+15점

[문제 2] 반원을 이용한 기하학적 증명 (응용 역량)

지름의 길이가 $a+b$ 인 반원을 그리고, 지름 위에 선분의 길이가 각각 $a$ 와 $b$ 로 나뉘는 점을 잡습니다. 이 점에서 수선을 올려 반원과 만나는 점을 이용해 직각삼각형을 그렸을 때, 산술·기하평균 부등식이 성립함을 기하학적으로 증명하시오.

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[문제 풀이]

산술·기하평균의 반원 기하학 모델

OABHCab

선분 $AB$가 반원의 지름이므로 전체 길이는 $a+b$ 이고, 반원의 반지름 길이는 $\frac{a+b}{2}$ 입니다.
점 $O$가 반원의 중심이고 점 $C$는 반원 위의 점이므로 선분 $OC$는 반지름의 길이와 같습니다.

$$ OC = \frac{a+b}{2} $$

반원에 내접하는 원주각 성질에 의해 삼각형 $ABC$는 $\angle C = 90^\circ$ 인 직각삼각형입니다.
직각삼각형의 닮음비(소공식)에 의하여 수선의 길이 $HC$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$ HC^2 = AH \cdot HB = a \cdot b $$

$$ HC = \sqrt{ab} \quad (\because HC \gt 0) $$

만약 $a \neq b$ 라면 빗변이 $OC$ 이고 높이가 $HC$ 인 직각삼각형 $OHC$가 만들어집니다. 직각삼각형에서 빗변은 항상 다른 변보다 크므로 $OC \gt HC$ 가 성립합니다.
만약 $a=b$ 라면 점 $H$와 중심 $O$가 일치하게 되어 $OC = HC$ 가 됩니다. 따라서 이를 종합하면 다음 부등식이 성립합니다.

$$ OC \ge HC \implies \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$

정답: 기하학적 증명 완료

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
길이의 도출	반지름 $OC$가 산술평균, 직각삼각형의 닮음비를 이용한 수선 $HC$가 기하평균임을 바르게 유도함.	+15점
부등식 대소 비교	직각삼각형의 빗변 성질을 바탕으로 대소를 비교하고 등호 성립 조건을 논리적으로 서술함. ※ 빗변이 수선보다 크다는 기하학적 근거를 서술하지 않으면 -5점 감점	+15점

[문제 3] 도형의 둘레 최적화 응용 (심층 사고력)

넓이가 $16$ 인 직사각형 모양의 화단을 만들려고 합니다. 이 화단의 둘레의 길이가 최소가 되도록 설계할 때, 가로와 세로의 길이를 산술·기하평균 부등식을 이용하여 구하고 그 기하학적 의미를 서술하시오.

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[문제 풀이]

넓이가 일정한 직사각형의 형태 변화

x = 8, y = 2둘레 = 20x = 4, y = 4 (정사각형)둘레 = 16최소 둘레

직사각형의 가로의 길이를 $x$, 세로의 길이를 $y$ 라 하면 길이는 항상 양수이므로 $x \gt 0, y \gt 0$ 입니다.
직사각형의 넓이가 $16$ 이므로 조건식은 다음과 같습니다.

$$ x \cdot y = 16 $$

구하고자 하는 화단의 둘레의 길이를 $P$ 라 하면, $P = 2(x + y)$ 입니다.
여기서 $x \gt 0, y \gt 0$ 이므로 산술·기하평균 부등식을 적용하면 다음과 같이 최솟값을 도출할 수 있습니다.

$$ x + y \ge 2\sqrt{xy} $$

$xy = 16$ 을 대입하면,

$$ x + y \ge 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8 $$

따라서 둘레의 길이 $P$ 의 최솟값은 다음과 같습니다.

$$ P = 2(x + y) \ge 2(8) = 16 $$

이 최솟값을 가질 때의 조건(등호 성립 조건)은 $x = y$ 일 때입니다.
$xy = 16$ 이고 $x=y$ 이므로 $x^2 = 16$, 즉 $x = 4, y = 4$ 가 됩니다.

[기하학적 의미 서술] 이 결과는 평면 기하학에서 매우 중요한 '등주부등식(Isoperimetric inequality)'의 직사각형 버전을 보여줍니다. 주어진 일정한 넓이를 감싸기 위해 가장 재료(둘레)가 적게 드는 도형은 찌그러진 직사각형이 아니라, 가로와 세로의 길이가 같은 **'정사각형'** 형태일 때임을 수학적으로 증명한 것입니다.

정답: 가로 4, 세로 4 (최소 둘레 16)

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
방정식 및 부등식 도출	넓이 $xy=16$과 둘레 공식을 세우고, 양수 조건 하에서 산술·기하 부등식을 적용함.	+15점
최적화 추론 및 서술	등호 성립 조건 $x=y$ 를 이용하여 길이를 각각 4로 구하고 정사각형임을 올바르게 서술함. ※ 둘레의 길이 공식에 2를 곱하지 않아 최솟값을 8로 잘못 구한 경우 10점 감점	+25점

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