[과학 논술] 쿨롱의 법칙으로 미지의 전하량을 어떻게 구할 수 있는가?

 

물리학 · 대학교 입시 과학논술 · 심층 수리논술

쿨롱의 법칙을 이용한 정전기력의 기하학적 해석과 전하량 산출

[출제 의도]
주어진 기하학적 조건(실의 길이, 평형 각도)을 이용하여 두 전하 사이의 거리를 정확히 계산하고, 이를 전자기학의 기본 원리인 '쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)'에 대입하여 미지의 전하량을 역산할 수 있는 심층적인 수리 연산 능력을 평가합니다.

상황 제시

길이가 $L = 0.3\sqrt{2} \text{ m}$ 인 가볍고 절연된 두 가닥의 실 끝에 두 개의 작은 금속 구가 매달려 있습니다. 두 금속 구에 동일한 양의 전하 $+q$ 를 대전시켰더니, 쿨롱의 법칙에 의한 척력이 작용하여 수직선(연직면)을 기준으로 각각 각도 $\theta = 45^\circ$ 를 이루며 평형 상태에 도달했습니다.

쿨롱의 전하 측정 실험

이 평형 상태에서 두 구 사이에 작용하는 정전기력 $F_e$ 가 $0.1 \text{ N}$ 으로 도출되었을 때, 제시된 역학적 조건과 쿨롱의 법칙을 바탕으로 다음 두 논제에 답하고 수리적 증명 과정을 상세히 서술하시오. (단, 쿨롱 상수 $k = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ 이며, 구의 크기와 공기 저항은 무시합니다.)

[논제 1] 기하학적 구조를 이용한 전하 간 거리 산출

실의 길이 $L$ 과 각도 $\theta$ 를 이용하여 두 금속 구가 이루는 이등변 삼각형 구조를 분석하고, 두 금속 구 사이의 직선 거리 $r$ 이 몇 $\text{m}$ 인지 그 계산 과정을 수학적으로 증명하시오.

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[수리적 계산 과정 및 해설]

쿨롱의 법칙을 계산하기 위해서는 두 금속 구 사이의 직선 거리 $r$ 을 먼저 구해야 합니다.
주어진 조건에 따라 실의 길이가 $L$ 이고, 수직선과 이루는 각도가 $\theta$ 인 이등변 삼각형 구조를 이룹니다. 중심 수직선에서부터 하나의 금속 구까지의 수평 거리는 삼각비에 의해 $L \sin\theta$ 가 됩니다.
따라서 두 구 사이의 전체 직선 거리 $r$ 은 이 수평 거리의 2배가 되므로 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.

$$r = 2 L \sin\theta = 2 \times 0.3\sqrt{2} \times \sin 45^\circ$$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 이므로, 이를 대입하여 식을 계산하면 다음과 같습니다.

$$r = 0.6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.6 \text{ m}$$

결론: 기하학적 분석을 통해 도출된 두 전하 사이의 직선 거리 $r$ 은 $0.6 \text{ m}$ 임을 증명할 수 있습니다.

채점 기준 요약

평가 요소	채점 기준	배점
삼각비를 이용한 수식 수립	전체 직선 거리 $r$ 이 $2L\sin\theta$ 와 같음을 기하학적으로 정확히 도출함.	+20점
거리 $r$ 의 산출	주어진 실의 길이와 각도를 대입하여 $r = 0.6 \text{ m}$ 임을 연산 오류 없이 계산함.	+20점

[논제 2] 쿨롱의 법칙을 통한 미지 전하량 도출 (수리 연산)

논제 1에서 구한 전하 사이의 거리 $r$ 과 제시된 정전기력 $F_e = 0.1 \text{ N}$ 을 쿨롱의 법칙 공식($F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$)에 대입하여, 금속 구 하나의 전하량 $q$ 가 몇 $\mu\text{C}$ (마이크로쿨롱)인지 도출하는 과정을 수리적으로 증명하시오.

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[수리적 계산 과정 및 해설]

두 금속 구의 전하량은 $q$ 로 완전히 동일하므로, 쿨롱의 법칙 분자 항은 $q_1 q_2 = q^2$ 이 됩니다.
이를 쿨롱의 법칙 기본 식에 대입합니다.

$$F_e = k \frac{q^2}{r^2}$$

정전기력 $0.1 \text{ N}$, 쿨롱 상수 $9 \times 10^9$, 그리고 논제 1에서 구한 거리 $r = 0.6 \text{ m}$ 를 식에 대입하면 다음과 같습니다.

$$0.1 = (9 \times 10^9) \times \frac{q^2}{(0.6)^2}$$

분모를 제곱하여 전개하면 다음과 같이 정리됩니다.

$$0.1 = (9 \times 10^9) \times \frac{q^2}{0.36}$$

방정식을 전하량의 제곱인 $q^2$ 에 대하여 정리합니다.

$$q^2 = \frac{0.1 \times 0.36}{9 \times 10^9} = \frac{0.036}{9 \times 10^9} = \frac{36 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = 4 \times 10^{-12}$$

전하량 $q$ 를 구하기 위해 양변에 제곱근을 씌웁니다.

$$q = \sqrt{4 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$$

문제에서 마이크로쿨롱($\mu\text{C}$) 단위로 환산할 것을 요구하였습니다. $1 \mu\text{C}$ 은 $10^{-6} \text{ C}$ 에 해당하므로, 구한 전하량을 단위 변환합니다.

결론: 계산 결과 금속 구 하나의 전하량은 $2 \mu\text{C}$ 임을 수학적으로 증명할 수 있습니다.

채점 기준 요약

평가 요소	채점 기준	배점
쿨롱의 법칙 수식 적용	쿨롱의 법칙 공식에 정전기력 $0.1 \text{ N}$ 과 거리 $0.6 \text{ m}$ 를 정확하게 대입하여 연산 과정을 전개함.	+30점
단위 환산 및 전하량 도출	지수 법칙을 올바르게 적용하여 $q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$ 를 도출하고, 이를 $2 \mu\text{C}$ 로 정확히 변환함.	+30점

 

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