[청랑 수리논술] 지수방정식을 이용한 산술기하평균의 이해

JWS 2026. 8. 9. 20:27

수학 I · 지수함수와 다항방정식 · 심층 수리논술

지수방정식의 고차 치환과 실근의 위치 및 최솟값 추론

[출제 의도]
지수함수를 다항함수로 치환하여 고차방정식(3차)의 해법을 적용할 수 있는가? 공통인수를 찾아 인수분해하고, 도출된 2차방정식의 실근의 위치(근의 분리) 조건을 완벽하게 이해하여 적용할 수 있는가? 더 나아가 치환된 함수의 극값을 미분을 통해 구하고 원래 함수의 최솟값을 추론할 수 있는 심층적 사고력을 평가한다.

상황 제시

$x$에 대한 지수방정식 $8^x - 3 \cdot 4^x + (k+2)2^x - k = 0$ 이 있다. (단, $k$는 실수이다.)

이 방정식의 실근을 분석하기 위해 $t=2^x$ 로 치환할 때, 다음 세 단계의 물음에 대하여 답과 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문제 1] 항등 근의 발견과 방정식 치환 (기초 역량)

$x=0$ 이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 위 방정식의 근이 됨을 보이고, $t=2^x$ 로 치환하여 얻은 $t$에 대한 3차방정식을 1차식과 2차식의 곱의 형태로 인수분해하시오.

해설 및 모범 채점 기준 확인하기

수능 영어 1등급을 결정짓는 킬러 문항 정복

[문제 풀이]

지수함수 $t = 2^x$ 의 일대일 대응 구조

xt(0, 1)t > 0 (항상 양수)

주어진 지수방정식에 $x=0$을 대입하면 $8^0 = 1, 4^0 = 1, 2^0 = 1$ 이 되므로 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$$ 1 - 3 \cdot 1 + (k+2)\cdot 1 - k = 1 - 3 + k + 2 - k = 0 $$

계산 결과가 $k$의 값에 관계없이 항상 $0$이 되므로, $x=0$ 은 항상 주어진 방정식의 실근입니다.

이제 주어진 지수방정식을 $t = 2^x$ 로 치환합니다. ($t \gt 0$)
$4^x = (2^x)^2 = t^2$ 이고, $8^x = (2^x)^3 = t^3$ 이므로 방정식은 $t$에 대한 3차방정식이 됩니다.

$$ t^3 - 3t^2 + (k+2)t - k = 0 $$

앞서 $x=0$ 일 때 식이 성립함을 보였으므로, $t = 2^0 = 1$ 은 이 3차방정식의 근이 됩니다.
조립제법 또는 다항식의 나눗셈을 이용하여 $(t-1)$ 을 인수로 빼내면 다음과 같이 인수분해됩니다.

$$ (t-1)(t^2 - 2t + k) = 0 $$

정답: 항등식 증명 완료, $(t-1)(t^2 - 2t + k) = 0$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
항등 근의 증명	$x=0$ 을 대입하여 $k$ 값에 관계없이 $0=0$ 이 성립함을 바르게 서술함.	+10점
3차식의 인수분해	치환된 3차방정식에서 공통인수 $(t-1)$ 을 찾아내어 완벽한 2차식의 곱으로 유도함. ※ $t \gt 0$ 의 정의역 조건을 명시하지 않은 경우 -5점 감점	+15점

[문제 2] 실근의 위치(근의 분리)와 조건 추론 (응용 역량)

원래의 지수방정식이 정확히 두 개의 서로 다른 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

해설 및 모범 채점 기준 확인하기

지문 구조를 꿰뚫는 완벽한 독해의 기술

[문제 풀이]

함수 $y = f(t)$ 와 실근의 위치 조건

ty대칭축 t=1양수 실근t=2t=0

$t = 2^x$ 는 일대일 대응(단조증가)이므로, 원래의 지수방정식이 서로 다른 두 실근 $x$를 가지기 위해서는 치환된 변수 $t$ 역시 양수 구간($t \gt 0$)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.

앞서 도출한 방정식은 $(t-1)(t^2 - 2t + k) = 0$ 이므로 이미 $t=1$ (즉, $x=0$) 이라는 양수 근을 하나 확보했습니다.

따라서 나머지 이차방정식 $f(t) = t^2 - 2t + k = 0$ 이 $1$이 아닌 오직 하나의 양수 실근을 더 가져야만 총 2개의 양수 실근 $t$가 형성됩니다.
이차함수 $y = f(t)$ 의 대칭축은 $t=1$ 이므로 두 근은 $1$을 기준으로 좌우 대칭입니다.

1) $f(t)=0$ 의 두 근 중 하나가 양수, 하나가 $0$ 이하인 경우:
두 근의 합이 $2$이므로, 한 근이 $0$ 이하라면 다른 근은 $2$ 이상이 되어 자동으로 $1$과 다른 양수 근이 됩니다.
이 조건은 $y$절편 $f(0) \le 0$ 일 때 성립합니다.

$$ f(0) = k \le 0 $$

2) 중근을 가질 경우:
판별식 $D/4 = 1 - k = 0 \implies k=1$. 이 경우 $f(t) = (t-1)^2 = 0$ 이 되어 $t=1$ 중근을 가집니다. 그러나 우리는 $t=1$ 이외의 새로운 근이 필요하므로 조건에 부합하지 않습니다.

따라서 구하는 $k$의 범위는 $k \le 0$ 입니다.

정답: $k \le 0$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
실근 매핑 구조 해석	전체 3차식의 근 중 $t=1$ 이 있음을 인지하고, 나머지 2차식이 '1이 아닌 단 1개의 양수근'을 가져야 함을 서술함.	+15점
근의 분리 적용	대칭축이 $t=1$ 임을 이용해 $f(0) \le 0$ 일 때 한 근은 양수, 한 근은 음수/0이 됨을 논증하여 $k \le 0$ 을 도출함. ※ $k=0$ (중근 아님, 한 근이 0) 케이스를 누락하여 $k \lt 0$ 으로 적은 경우 -5점 감점	+15점

[문제 3] 함수의 극값과 최적화 (심층 사고력)

$k=0$ 일 때, 주어진 지수방정식의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 하자. 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$ 에서 함수 $g(x) = 8^x - 3 \cdot 4^x + 2 \cdot 2^x$ 의 최솟값을 구하시오.

해설 및 모범 채점 기준 확인하기

비문학 독해와 논술 실력을 동시에 잡는 기적의 15분

[문제 풀이]

치환된 3차함수 $h(t)$ 의 개형 및 최솟값 탐색

th(t)12탐색 구간 [1, 2]t = 1 + √3/3

$k=0$ 일 때, 1번 문제에서 도출한 방정식은 $(t-1)(t^2 - 2t) = t(t-1)(t-2) = 0$ 이 됩니다. 이 3차방정식의 근은 $t = 0, 1, 2$ 입니다.
치환 조건 $t = 2^x \gt 0$ 에 의해 양수 근은 $t=1, 2$ 이고, 이를 원래 변수로 되돌리면 다음과 같습니다.

$$ 2^x = 1 \implies x = 0 $$ $$ 2^x = 2 \implies x = 1 $$

따라서 $\alpha = 0, \beta = 1$ 이며, 우리가 구해야 할 범위는 닫힌구간 $[0, 1]$ 입니다.

$g(x)$ 를 $t = 2^x$ 로 치환한 함수를 $h(t)$ 라 하면, $x \in [0, 1]$ 일 때 $t \in [1, 2]$ 가 됩니다.

$$ h(t) = t^3 - 3t^2 + 2t \quad (1 \le t \le 2) $$

최솟값을 구하기 위해 도함수 $h'(t)$ 를 구합니다.

$$ h'(t) = 3t^2 - 6t + 2 = 0 \implies t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 6}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$

구간 $[1, 2]$ 에 속하는 극소점은 $t = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다. 양 끝점의 함숫값 $h(1)=0$, $h(2)=0$ 이므로 이 극소점이 곧 최솟값이 됩니다.
대입하여 계산 편의를 위해 $u = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 라 두면 $3u^2 = 1$ 이고 $t = 1+u$ 입니다.

$$ h(1+u) = (1+u)^3 - 3(1+u)^2 + 2(1+u) $$ $$ = (1+u) \{ (1+u)^2 - 3(1+u) + 2 \} $$ $$ = (1+u) (u^2 - u) = u^3 - u $$

$$ u^3 - u = u(u^2 - 1) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{3}}{9} $$

[논리적 의미 서술] 3차 함수 $h(t)$ 의 근이 일정 간격(0, 1, 2)으로 존재할 때, 극값은 두 근의 정확한 중간이 아니라 무리수 비율($1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$)로 나타난다는 점이 3차 함수의 기하학적 대칭성과 비율 관계를 보여주는 중요한 증명 포인트입니다.

정답: $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
구간 및 치환함수 설정	$\alpha=0, \beta=1$ 을 구하고 $x$의 구간을 $t \in [1, 2]$ 로 정확히 치환하여 3차함수를 구성함.	+10점
도함수와 극소점	미분을 통해 극소점이 되는 $t$ 좌표 $1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 도출함.	+10점
최솟값 대수적 계산	무리수를 포함한 다항식에 대입하여 식을 실수 없이 전개하고 최솟값을 도출함. ※ 계산 실수로 오답이 도출된 경우 10점 감점	+10점

스스로 깨우치는 진짜 코칭

청랑학습코칭이 궁금하시다면?

상담 신청하기 →

청랑 학습코칭이란 무엇인가요?

청랑 학습코칭은 단순한 성적 향상을 위한 스킬을 가르치지 않습니다. 학습자의 인지 성향을 정밀하게 분석하여, 부모가 주도하는 사교육이 아닌 아이가 스스로 공부하는 동기를 깨우는 데 집중합니다.

아이가 '왜 공부해야 하는지'를 깨닫고 스스로 변화를 선택할 때, 비로소 성적은 결과로 따라옵니다.

수동적인 라이딩 인생에서 벗어나, 아이의 자생력을 단단하게 키우고 싶은 부모님을 위한 진짜 학습코칭을 경험해 보세요.

저작자표시 비영리 변경금지 (새창열림)