[청랑 수리논술] 원의 방정식과 삼각함수로 이해하는 극한

 

미적분 · 도형의 방정식과 삼각함수의 극한 · 심층 수리논술

외접원의 추론과 삼각함수가 만드는 기하학적 극한

[출제 의도]
두 원이 외접할 때 중심거리와 반지름의 관계(원의 방정식 성질)를 이용하여 미지의 원의 방정식을 삼각함수로 표현할 수 있는가? 또한, 구성된 기하학적 영역의 넓이를 극한으로 보내는 과정에서, 고등학교 교육과정에 기반한 정형화된 극한 공식을 올바르게 적용하고 그 수렴값이 지니는 곡률적 틈새의 의미를 논리적으로 서술할 수 있는가?

상황 제시

좌표평면 위에 중심이 원점 $O$ 이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$ 가 있다. 제1사분면 위의 점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ (단, $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)에서 원 $C$ 에 외접하고, 동시에 직선 $x=1$ 에 접하는 원을 $C'$ 이라 하자. 원 $C'$ 의 중심을 $Q$, 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문제 1] 기하학적 상황의 대수적 표현 (기초 역량)

두 원이 점 $P$에서 외접한다는 성질을 이용하여 원 $C'$ 의 중심 $Q$ 가 직선 $OP$ 위에 있음을 논리적으로 설명하고, 반지름 $r(\theta)$ 를 $\theta$ 에 대한 식으로 나타내시오.

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[문제 풀이]

외접원의 중심거리와 접선 모델

두 원이 점 $P$ 에서 외접하므로, 접점 $P$ 에서 두 원의 공통접선을 그었을 때 중심 $O$ 와 $Q$ 는 이 접선에 각각 수직인 법선 위에 존재한다. 따라서 점 $O, P, Q$ 는 일직선 위에 존재하며, $Q$ 는 반직선 $OP$ 연장선 위에 있다.

선분 $OQ$ 의 길이는 두 원의 반지름의 합이므로 $OQ = 1 + r(\theta)$ 이다.
반직선 $OP$ 가 $x$축과 이루는 각이 $\theta$ 이므로 중심 $Q$ 의 좌표는 $\left( (1+r(\theta))\cos\theta, (1+r(\theta))\sin\theta \right)$ 로 둘 수 있다.

원 $C'$ 은 제1사분면에서 직선 $x=1$ 의 왼쪽에 접하므로, 점 $Q$ 의 $x$좌표와 직선 $x=1$ 사이의 거리가 반지름 $r(\theta)$ 와 같다.

$$ 1 - (1+r(\theta))\cos\theta = r(\theta) $$

식을 $r(\theta)$ 에 대하여 정리하면,

$$ r(\theta) + r(\theta)\cos\theta = 1 - \cos\theta $$

$$ r(\theta)(1 + \cos\theta) = 1 - \cos\theta $$

따라서, $r(\theta) = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ 이다.

정답: $r(\theta) = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
일직선 조건 설명	외접 조건(공통접선의 수직)을 근거로 점 $O, P, Q$가 일직선에 있음을 명확히 서술함. ※ 근거 서술 없이 직관적으로 일직선에 있다고 단정한 경우 -5점 감점	+10점
방정식 수립 및 풀이	점 $Q$의 좌표를 삼각함수로 표현하고, 직선 $x=1$ 과의 거리 조건을 통해 $r(\theta)$ 식을 바르게 도출함.	+20점

[문제 2] 도형의 넓이 함수 유도 및 극한 (응용 역량)

원 $C'$ 이 직선 $x=1$ 과 만나는 접점을 $R$ 이라 하자. 삼각형 $PQR$ 의 넓이를 $A(\theta)$ 라 할 때, 극한값 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{A(\theta)}{\theta^5}$ 를 구하시오.

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[문제 풀이]

기하학적 영역 (삼각형 PQR) 시각화

원 $C'$ 이 $x=1$ 과 접하는 점 $R$ 의 좌표는 중심 $Q$ 와 $y$좌표가 같으므로 $(1, (1+r(\theta))\sin\theta)$ 이다.
삼각형 $PQR$ 에서 선분 $QR$ 은 $x$축과 평행하므로 이를 밑변으로 잡으면 그 길이는 원 $C'$ 의 반지름인 $r(\theta)$ 가 된다.
이때 삼각형의 높이 $h$ 는 점 $Q$(또는 $R$)의 $y$좌표에서 점 $P$의 $y$좌표를 뺀 값이다.

$$ h = (1+r(\theta))\sin\theta - \sin\theta = r(\theta)\sin\theta $$

따라서 삼각형 $PQR$ 의 넓이 $A(\theta)$ 는 다음과 같다.

$$ A(\theta) = \frac{1}{2} \cdot QR \cdot h = \frac{1}{2} r(\theta) \cdot r(\theta)\sin\theta = \frac{1}{2} (r(\theta))^2 \sin\theta $$

구한 $r(\theta)$ 식을 대입하여 극한값을 계산한다.

$$ \lim_{\theta \to 0+} \frac{A(\theta)}{\theta^5} = \lim_{\theta \to 0+} \frac{\frac{1}{2} \left( \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \right)^2 \sin\theta}{\theta^5} $$

$$ = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0+} \left[ \left( \frac{1-\cos\theta}{\theta^2} \right)^2 \cdot \frac{1}{(1+\cos\theta)^2} \cdot \frac{\sin\theta}{\theta} \right] $$

여기서 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{1-\cos\theta}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0+} \frac{\sin^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)} = \frac{1}{2}$ 임을 이용하면,

$$ = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2^2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32} $$

정답: 극한값 $\frac{1}{32}$

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
넓이 식 도출	선분 $QR$이 수평선임을 파악하여 밑변과 높이를 구하고 넓이 $A(\theta)$ 식을 바르게 정리함.	+15점
극한값 계산	극한의 성질을 분리하여 적용하고 계산 실수 없이 $\frac{1}{32}$ 을 도출함. ※ $(1-\cos\theta)$ 항을 변형하지 못하고 헤맨 경우 부분점수 5점만 부여	+15점

[문제 3] 극한과 기하학적 추론 (심층 사고력)

극한값 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{r(\theta)}{\theta^2}$ 이 $\frac{1}{4}$ 로 수렴함을 고등학교 교과과정의 극한 성질(켤레식 곱하기 등)을 이용하여 증명하고, 이 수렴값이 의미하는 기하학적 특성을 원 $C$ 와 직선 $x=1$ 사이의 거리 관점에서 논리적으로 서술하시오.

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[문제 풀이]

극한과 틈새 간극 기하 모델

$$ \lim_{\theta \to 0+} \frac{r(\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0+} \frac{1-\cos\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)} $$

분모와 분자에 $(1+\cos\theta)$ 를 곱하여 변형한다.

$$ \lim_{\theta \to 0+} \frac{1-\cos^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)^2} = \lim_{\theta \to 0+} \left( \frac{\sin\theta}{\theta} \right)^2 \frac{1}{(1+\cos\theta)^2} $$

$\lim_{\theta \to 0+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 이고 $\lim_{\theta \to 0+} \cos\theta = 1$ 이므로,

$$ = 1^2 \cdot \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4} $$

[기하학적 의미 서술] 점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ 에서 접선 $x=1$ 까지의 수평 거리는 $1-\cos\theta$ 이다. 원 $C'$ 은 원 $C$ 와 직선 $x=1$ 사이의 좁은 틈새에 외접하며 끼워지게 되는데, $\theta$ 가 $0$ 에 가까워질수록 이 틈새의 수평 폭은 원 $C'$ 의 지름인 $2r(\theta)$ 에 수렴하게 된다. 수식적으로 $2r(\theta) \approx 1-\cos\theta \approx \frac{1}{2}\theta^2$ 이 성립하므로, $r(\theta)$ 는 $\frac{1}{4}\theta^2$ 속도로 줄어들며 이는 원의 곡률이 만들어내는 미세한 틈새 공간이 다항함수 2차 근사 형태를 띰을 기하학적으로 보여준다.

정답: 수렴 증명 및 곡률 공간의 선형적 근사

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
수렴 증명	교과과정 내의 삼각함수 극한 기본 성질($\frac{\sin\theta}{\theta} \to 1$)을 이용하여 $\frac{1}{4}$ 임을 엄밀히 증명함. ※ 대학 과정인 로피탈의 정리를 증명 없이 사용하여 답만 낸 경우 치명적 감점 -15점	+20점
기하학적 추론	$1-\cos\theta$ 가 수평 간극을 의미하며, 이것이 원의 지름 $2r(\theta)$ 로 근사됨을 논리적으로 서술함.	+20점

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