[출제 의도] 기하학(Geometry)의 발전 과정을 이해하고, 인류가 왜 직사각형의 넓이를 기준으로 다른 모든 사각형의 넓이 공식을 만들어냈는지 그 필연성을 통찰할 수 있는가? 도형을 자르고 붙여도 넓이는 변하지 않는다는 '넓이의 보존성'을 이용하여 평행사변형, 사다리꼴, 마름모의 넓이 공식을 논리적으로 유도하는 능력을 평가한다.
상황 제시
가로의 길이가 $a$, 세로의 길이가 $b$인 직사각형의 넓이 $S$는 $S = a \times b$ 로 약속한다. 이는 가로 세로가 $1$인 단위 정사각형 격자가 가로로 $a$개, 세로로 $b$개 나열되어 있다는 직관적 사실에 기반한다.
하지만 농경지가 항상 반듯한 직사각형인 것은 아니며, 삐뚤어진 평행사변형이나 사다리꼴 형태의 땅 넓이를 매번 격자를 그려 1개씩 셀 수는 없다. 따라서 가장 기본이 되는 '직사각형의 넓이'를 뼈대로 삼아 다른 사각형들의 넓이를 연역해내는 과정이 필요하다. 다음 세 물음에 답하고 그 기하학적 근거를 서술하시오.
[문제 1] 평행사변형의 넓이 유도 (기초 역량)
밑변의 길이가 $a$이고 높이가 $h$인 평행사변형이 있다. 도형을 자르고 붙이는 '넓이의 보존성' 원리를 이용하여, 이 평행사변형의 넓이 $S$가 $S = ah$ 가 됨을 직사각형의 넓이 공식을 바탕으로 논리적으로 증명하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
수능 영어 1등급을 결정짓는 킬러 문항 정복
청랑북스 추천 도서
S-Class 수능 영어 킬러 마스터 1권
수능 영어 최상위권을 향한 30일의 여정! 단순히 영어 문장을 번역하는 수준을 넘어, 지문 전체의 뼈대를 파악하고 문장 간의 숨겨진 유기적 연결고리를 찾아내는 ‘논리적 사고력’을 길러드립니다.
평행사변형은 '두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형'입니다. 이 평행사변형의 한 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내려 직각삼각형 부분을 잘라냅니다.
도형의 일부를 잘라내어 다른 곳에 붙여도 전체 도형의 넓이는 변하지 않습니다. (이를 기하학에서 등적 변형 또는 넓이의 보존성이라 합니다.)
잘라낸 직각삼각형을 반대쪽 빗변에 그대로 가져다 붙이면, 빗변의 길이가 같고 평행하므로 완벽하게 들어맞습니다. 그 결과, 원래의 삐뚤어진 평행사변형은 가로의 길이가 평행사변형의 밑변인 $a$ 이고, 세로의 길이가 평행사변형의 높이인 $h$ 인 완벽한 직사각형으로 변형됩니다.
직사각형의 넓이는 (가로) $\times$ (세로) 이므로, 변형된 직사각형의 넓이이자 원래 평행사변형의 넓이 $S$ 는 다음과 같습니다.
$$ S = a \times h = ah $$
정답: 직각삼각형을 잘라 붙여 직사각형(가로 $a$, 세로 $h$)을 만들 수 있으므로 $S = ah$
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
등적 변형의 원리
평행사변형의 일부(직각삼각형)를 잘라 반대편에 붙여 넓이가 동일한 직사각형을 만든다는 사실을 명시함.
+15점
공식의 유도
변형된 직사각형의 가로가 $a$, 세로가 $h$ 임을 밝히고 직사각형 넓이 공식을 통해 $ah$ 를 도출함. ※ 직사각형 넓이 공식을 인용하지 않고 그냥 수식만 적은 경우 -5점 감점
+15점
[문제 2] 사다리꼴의 넓이 유도 (응용 역량)
윗변의 길이가 $a$, 아랫변의 길이가 $b$, 높이가 $h$인 사다리꼴이 있다. 앞선 1번 문제에서 증명한 평행사변형의 넓이 공식을 활용하여 사다리꼴의 넓이 공식 $S = \frac{1}{2}(a+b)h$ 를 기하학적으로 유도하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
지문 구조를 꿰뚫는 완벽한 독해의 기술
청랑북스 추천 도서
S-Class 수능 영어 킬러 마스터 3권 (DAY21~30)
단순히 영어 문장을 번역하는 수준을 넘어, 지문 전체의 뼈대를 파악하고 문장 간의 숨겨진 유기적 연결고리를 찾아내는 '논리적 사고력'이 필요합니다. 30일 완성 마스터 플랜으로 상위 1%에 도전하세요.
사다리꼴의 넓이를 구하기 위해, 주어진 사다리꼴과 완전히 똑같은(합동인) 사다리꼴을 하나 더 준비합니다.
새로 준비한 사다리꼴을 180도 회전시켜 뒤집은 다음, 원래 사다리꼴의 빗변에 맞닿게 이어 붙입니다. 사다리꼴은 위아래 변이 평행하므로, 이렇게 맞붙인 도형의 위아래 뼈대는 곧게 이어져 평행을 유지합니다. 그 결과, 두 사다리꼴이 합쳐진 전체 도형은 거대한 **평행사변형**이 됩니다.
이 거대한 평행사변형을 분석해 보면:
밑변의 길이: 원래 사다리꼴의 윗변($a$)과 아랫변($b$)이 이어졌으므로 $(a+b)$ 가 됩니다.
높이: 원래 사다리꼴의 높이 $h$ 와 동일합니다.
1번 문제에서 증명한 평행사변형 넓이 공식에 따라, 이 거대한 평행사변형의 전체 넓이는 $(\text{밑변}) \times (\text{높이}) = (a+b)h$ 입니다.
우리가 구하고자 하는 사다리꼴은 이 평행사변형 넓이의 정확히 절반이므로, 최종 넓이 $S$ 는 다음과 같이 유도됩니다.
$$ S = \frac{1}{2}(a+b)h $$
정답: 똑같은 사다리꼴 2개를 붙여 밑변이 $(a+b)$인 평행사변형을 만든 뒤 절반으로 나눔.
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
평행사변형 합성
합동인 사다리꼴을 거꾸로 붙여 거대한 평행사변형을 만든다는 기하학적 발상을 명확히 서술함. ※ 대각선을 그어 삼각형 2개로 쪼개는 방식으로 증명한 경우에도 정답 인정
+15점
공식 유도 및 논증
합쳐진 평행사변형의 밑변이 $(a+b)$ 임을 보이고, 이를 절반으로 나누어 최종 공식 $\frac{1}{2}(a+b)h$ 를 논리적으로 도출함.
+15점
[문제 3] 마름모 넓이 유도와 대수적 공식의 철학 (심층 사고력)
두 대각선의 길이가 각각 $p$ 와 $q$ 인 마름모가 있다. 이 마름모를 완전히 감싸는 직사각형을 이용하여 마름모의 넓이 공식이 $S = \frac{1}{2}pq$ 가 됨을 증명하시오. 더 나아가, 인류가 굳이 이런 '대수적인 면적 공식'들을 끊임없이 만들어낸 역사적, 수학적, 철학적 필연성에 대해 종합적으로 서술하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
비문학 독해와 논술 실력을 동시에 잡는 기적의 15분
청랑북스 추천 도서
하루 15분, 시사 논술 필사
단순히 글자를 따라 적는 연습에 그치지 않고, '논술 공식 → 쟁점 분석 → 핵심 어휘 → 예시 답안 필사'로 이어지는 체계적 프로세스로 논리적 글쓰기 실력과 비문학 독해력을 동시에 끌어올려 줍니다.
[마름모 넓이의 증명] 마름모의 두 대각선은 서로를 수직 이등분합니다. 대각선 길이가 $p, q$ 인 마름모의 네 꼭짓점을 지나며 두 대각선과 각각 평행한 선분을 그어 **마름모를 완벽하게 둘러싸는 커다란 직사각형**을 만듭니다. 이 직사각형의 가로는 마름모의 가로 대각선 $p$ 와 같고, 세로는 마름모의 세로 대각선 $q$ 와 같습니다. 따라서 바깥 직사각형의 전체 넓이는 $p \times q$ 입니다.
마름모의 두 대각선은 이 거대한 직사각형을 4개의 작은 직사각형으로 분할합니다. 각 작은 직사각형 안에는 마름모의 변이 대각선으로 지나가며, 직사각형을 정확히 넓이가 같은 2개의 합동인 직각삼각형으로 반분합니다. (위 그림의 O, X 기호 참고) 결국 내부 마름모를 구성하는 삼각형 4개의 넓이는, 바깥쪽 직사각형을 구성하는 전체 삼각형 8개 넓이의 정확히 절반이 됩니다. 따라서 마름모의 넓이 $S$ 는 다음과 같습니다.
$$ S = \frac{1}{2}pq $$
[면적 공식의 철학적 필연성 서술] 인류가 '격자를 직접 세는 방식'을 포기하고 이토록 다양한 '대수적 공식(Algebraic Formula)'을 개발한 근본적인 이유는 무엇일까요? 첫째, 측정의 효율성입니다. 2차원적인 '면(Area)'을 다 덮어보지 않고도, 대각선이나 밑변이라는 1차원적인 '선(Length)' 단 몇 개만 측정하여 곱하기만 하면 거대한 땅의 면적을 즉각적으로 도출해 낼 수 있기 때문입니다. 둘째, 연속성의 극복입니다. 자연계의 공간은 모눈종이처럼 정수로 딱 떨어지지 않는 연속적인 무리수(실수)의 공간입니다. 격자를 세는 방식으로는 소수점 이하의 무리수 면적을 절대 잴 수 없지만, 대수적 공식은 문자에 무리수를 대입하는 것만으로 완벽하게 연속된 공간의 넓이를 계산해냅니다. 즉, 면적 공식은 유한한 인간이 무한한 공간을 통제하기 위해 발명한 가장 위대한 추상화(Abstraction) 도구입니다.
정답: 직사각형 넓이 $pq$ 의 절반이므로 $S = \frac{1}{2}pq$, 그리고 측정의 효율성과 연속성 극복의 필연성.
평가 요소
채점 기준 및 감점 요인
배점
외접 직사각형을 이용한 증명
마름모를 둘러싼 $p \times q$ 크기의 직사각형을 설정하고, 내부 삼각형의 합동 조건으로 넓이가 절반이 됨을 논리적으로 서술함.
+15점
철학적 필연성의 논증
1차원(선)의 측정을 통한 2차원(면)의 추론이라는 측정의 효율성과, 격자로 셀 수 없는 무리수 공간을 다루는 연속성 극복의 관점을 훌륭하게 서술함. ※ 공식의 필요성을 단순히 '편리해서'라고만 얕게 적은 경우 10점 감점
