수학 수능 확률통계 조합-1 정답

수학 · 확률과 통계

서로소와 확률의 덧셈정리 응용 확률 문제

주머니 속에 1부터 10까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 구슬 10개가 들어 있다.
이 주머니에서 임의로 2개의 구슬을 동시에 꺼낼 때,
꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수의 곱이 홀수이거나 두 자연수가 서로소일 확률은?

① $\dfrac{26}{45}$

② $\dfrac{28}{45}$

③ $\dfrac{30}{45}$

④ $\dfrac{31}{45}$

⑤ $\dfrac{32}{45}$

풀이

1

전체 경우의 수

10개 중 2개를 동시에 꺼내는 경우의 수:

$$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$$

2

사건 A : 곱이 홀수인 쌍

두 수 모두 홀수여야 합니다. 홀수: 1, 3, 5, 7, 9 (5개)

$$n(A) = {_5}C_2 = 10$$

3

사건 B : 서로소인 쌍

전체에서 서로소가 아닌 쌍을 빼서 계산합니다.

공약수	해당 쌍	개수
2	(2,4)(2,6)(2,8)(2,10)(4,6)(4,8)(4,10)(6,8)(6,10)(8,10)	10쌍
3	(3,6)(3,9)(6,9)	3쌍
5	(5,10)	1쌍
중복 제거	(6,10) → 공약수 2, 5 중복 계산	-1쌍

서로소가 아닌 쌍: $10 + 3 + 1 - 1 = 13$쌍

$$n(B) = 45 - 13 = 31$$

4

교집합 A ∩ B : 곱이 홀수이면서 서로소인 쌍

홀수끼리의 쌍 10개 중 (3, 9)만 서로소가 아닙니다. (공약수 3)

$$n(A \cap B) = 10 - 1 = 9$$

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확률의 덧셈정리 적용

확률의 덧셈정리  |  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$$P(A \cup B) = \frac{n(A) + n(B) - n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{10 + 31 - 9}{45} = \frac{32}{45}$$

정 답 ⑤ $\dfrac{32}{45}$

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