AI시대 통신 케이블에 쌍곡선 함수는 필수다
수학 / 지수함수 · 쌍곡선함수 · 미분 · 극한 · 전송선로 · 심층 수리논술
통신 케이블에는 왜 tanh가 등장하는가: 쌍곡선함수로 분석하는 신호 감쇠와 임피던스
[출제 의도]
통신선로에서 서로 반대 방향으로 진행하는 신호가 지수함수의 합과 차로 표현될 때 쌍곡선함수 cosh, sinh가 자연스럽게 등장하는 과정을 이해하는지 평가한다. 이를 이용하여 송신기에서 바라본 전송선로의 입력 임피던스에 tanh가 나타나는 공식을 직접 유도하고, 신호의 반사와 감쇠를 수학적으로 해석하도록 한다. 또한 tanh의 미분과 극한을 이용하여 선로가 길어질수록 입력 임피던스가 특성 임피던스에 접근하는 현상을 증명하고, 수학적으로 임피던스가 안정되는 것과 실제 통신 품질이 좋아지는 것이 반드시 같은 의미는 아님을 논술하도록 한다.
통신선로에서 서로 반대 방향으로 진행하는 신호가 지수함수의 합과 차로 표현될 때 쌍곡선함수 cosh, sinh가 자연스럽게 등장하는 과정을 이해하는지 평가한다. 이를 이용하여 송신기에서 바라본 전송선로의 입력 임피던스에 tanh가 나타나는 공식을 직접 유도하고, 신호의 반사와 감쇠를 수학적으로 해석하도록 한다. 또한 tanh의 미분과 극한을 이용하여 선로가 길어질수록 입력 임피던스가 특성 임피던스에 접근하는 현상을 증명하고, 수학적으로 임피던스가 안정되는 것과 실제 통신 품질이 좋아지는 것이 반드시 같은 의미는 아님을 논술하도록 한다.
[문제 1] 지수적으로 움직이는 신호에서 왜 cosh와 sinh가 나타나는가 (기초·응용 역량)
부하 위치 x = 0에서의 전압과 전류를 각각
라 하자.
(1) x = 0을 대입하여
임을 보이시오.
(2) 이를 이용하여
임을 구하시오.
(3) (2)를 원래의 전압식에 대입하여
임을 증명하시오.
(4) 같은 방법으로
임을 보이시오.
(5) 위 결과를 이용하여 다음 문장을 수학적으로 설명하시오.
VL = V(0),
IL = I(0)
(1) x = 0을 대입하여
VL = A + B,
Z0IL = A − B
Z0IL = A − B
(2) 이를 이용하여
A
=
(VL + Z0IL)/2,
B = (VL − Z0IL)/2
B = (VL − Z0IL)/2
(3) (2)를 원래의 전압식에 대입하여
V(x)
=
VL cosh(αx)
+
Z0IL sinh(αx)
(4) 같은 방법으로
I(x)
=
IL cosh(αx)
+
(VL/Z0) sinh(αx)
(5) 위 결과를 이용하여 다음 문장을 수학적으로 설명하시오.
“통신선로에서 쌍곡선함수가 등장하는 것은 새로운 종류의 신호가 만들어졌기 때문이 아니라,
서로 반대 방향의 지수함수를 합하고 빼는 과정의 결과이다.”
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
[문제 풀이]
x = 0이면
이다.
두 식을 더하고 빼면
이다.
따라서
이고 같은 종류의 항끼리 묶으면
이다.
쌍곡선함수의 정의에 의해
이다.
전류도 같은 방식으로 정리하면
을 얻는다.
즉 cosh와 sinh는 지수함수와 무관한 별도의 현상을 나타내는 것이 아니다. 서로 반대 방향의 지수적 변화
를 대칭적으로 합하고 빼서 표현한 결과가
cosh와 sinh이다.
따라서 통신선로에서 진행파와 반사파가 함께 존재할 때
쌍곡선함수가 자연스럽게 등장한다.
x = 0이면
VL
=
A + B,
Z0IL = A − B
Z0IL = A − B
A
=
(VL + Z0IL)/2,
B = (VL − Z0IL)/2
B = (VL − Z0IL)/2
따라서
V(x)
=
[(VL + Z0IL)/2]
eαx
+ [(VL − Z0IL)/2] e−αx
+ [(VL − Z0IL)/2] e−αx
V(x)
=
VL
[
(eαx
+
e−αx)/2
]
+ Z0IL [ (eαx − e−αx)/2 ]
+ Z0IL [ (eαx − e−αx)/2 ]
V(x)
=
VL cosh(αx)
+
Z0IL sinh(αx)
전류도 같은 방식으로 정리하면
I(x)
=
IL cosh(αx)
+
(VL/Z0)sinh(αx)
즉 cosh와 sinh는 지수함수와 무관한 별도의 현상을 나타내는 것이 아니다. 서로 반대 방향의 지수적 변화
eαx,
e−αx
도해 1. 두 지수함수에서 쌍곡선함수가 만들어지는 구조
핵심 결과: 전송선로의 cosh와 sinh는 e^(αx)와 e^(−αx)로 표현되는 두 신호 성분을 합과 차로 다시 표현한 결과이다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 | 배점 |
|---|---|---|
| 지수함수 변환 | A, B를 경계값으로 나타내고 cosh, sinh의 정의를 이용하여 전압식을 정확히 유도함. | 15점 |
| 수학적 해석 | 진행·반사 성분과 쌍곡선함수의 관계를 지수함수의 합과 차라는 관점에서 설명함. | 10점 |
[문제 2] 송신기에서 보이는 임피던스에 왜 tanh가 나타나는가 (응용 역량)
부하 임피던스를
라 하고,
송신기에서 바라본 선로의 입력 임피던스를
라 하자.
(1) 문제 1의 결과에 x = L을 대입하여
임을 보이시오.
(2) 같은 방법으로
임을 보이시오.
(3) 두 식의 비를 구하고 분자와 분모를 cosh(αL)로 나누어
임을 증명하시오.
(4) ZL = Z0이면 선로의 길이와 감쇠계수에 관계없이
임을 보이시오.
이 결과를 임피던스 정합의 의미와 연결하여 설명하시오.
(5) 이제
라 하자.
이때
임을 지수함수의 정의를 이용하여 증명하고,
Zin을 구하시오.
ZL
=
VL/IL
Zin
=
V(L)/I(L)
(1) 문제 1의 결과에 x = L을 대입하여
V(L)
=
IL
[
ZL cosh(αL)
+
Z0 sinh(αL)
]
(2) 같은 방법으로
I(L)
=
(IL/Z0)
[
Z0 cosh(αL)
+
ZL sinh(αL)
]
(3) 두 식의 비를 구하고 분자와 분모를 cosh(αL)로 나누어
Zin
=
Z0
[
ZL
+
Z0 tanh(αL)
]
/
[
Z0
+
ZL tanh(αL)
]
(4) ZL = Z0이면 선로의 길이와 감쇠계수에 관계없이
Zin = Z0
(5) 이제
Z0 = 50 Ω,
ZL = 100 Ω,
α = (ln 3)/10 km−1, L = 5 km
α = (ln 3)/10 km−1, L = 5 km
tanh[(ln 3)/2] = 1/2
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
[문제 풀이]
VL = ZLIL이므로
이다.
또한
이므로
이다.
따라서
이다.
분자와 분모를 cosh(αL)로 나누면
을 얻는다.
만약 ZL = Z0이면
이다.
즉 부하가 선로의 특성 임피던스와 일치하면
송신기에서도 같은 임피던스가 보인다.
이 경우 부하에서의 불연속이 없어져
반사파가 발생하지 않는 이상적인 정합 상태로 해석할 수 있다.
수치 조건에서는
이다.
쌍곡탄젠트의 정의에서
이다.
u=(ln3)/2이면
e2u=3이므로
이다.
따라서
이므로
이다.
부하는 100 Ω이지만
5 km 떨어진 송신기에서는 그대로 100 Ω으로 보이지 않는다는 점이 중요하다.
VL = ZLIL이므로
V(L)
=
IL
[
ZL cosh(αL)
+
Z0 sinh(αL)
]
I(L)
=
IL cosh(αL)
+
(ZLIL/Z0)
sinh(αL)
=
(IL/Z0)
[
Z0 cosh(αL)
+
ZL sinh(αL)
]
Zin
=
Z0
[
ZL cosh(αL)
+
Z0 sinh(αL)
]
/
[
Z0 cosh(αL)
+
ZL sinh(αL)
]
Zin
=
Z0
[
ZL
+
Z0 tanh(αL)
]
/
[
Z0
+
ZL tanh(αL)
]
만약 ZL = Z0이면
Zin
=
Z0
[
Z0
+
Z0 tanh(αL)
]
/
[
Z0
+
Z0 tanh(αL)
]
=
Z0
수치 조건에서는
αL
=
[(ln 3)/10] × 5
=
(ln 3)/2
tanh u
=
(eu−e−u)
/
(eu+e−u)
= (e2u−1) / (e2u+1)
= (e2u−1) / (e2u+1)
tanh[(ln3)/2]
=
(3−1)/(3+1)
=
1/2
Zin
=
50
[
100 + 50(1/2)
]
/
[
50 + 100(1/2)
]
Zin
=
62.5 Ω
도해 2. 송신기와 부하 사이에서 달라지는 임피던스
정답: Zin = Z₀(ZL + Z₀ tanh(αL))/(Z₀ + ZL tanh(αL))이며, 주어진 조건에서는 Zin = 62.5 Ω이다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 | 배점 |
|---|---|---|
| 입력 임피던스 유도 | V(L), I(L)의 비를 구하고 sinh/cosh=tanh를 이용하여 입력 임피던스 공식을 정확히 유도함. | 15점 |
| 정합과 수치 계산 | ZL=Z₀의 의미를 해석하고 tanh[(ln3)/2]=1/2 및 Zin=62.5 Ω을 정확히 계산함. | 15점 |
[문제 3] 케이블이 길어지면 왜 부하의 영향이 사라지는가 (심층 사고력)
다음 함수를 생각하자.
이는 선로 길이 L에 따른 입력 임피던스이다.
(1) 쌍곡탄젠트의 정의를 이용하여
임을 증명하시오.
(2) 이를 이용하여
임을 증명하시오.
(3) 다음 미분공식을 사용할 수 있다.
단,
이다.
t = tanh(αL)라 두고
라 하자.
G‘(t)를 구하여
ZL > Z0일 때
F(L)이 L에 대하여 감소함을 보이시오.
(4) 반대로 ZL < Z0이면 F(L)이 증가하면서 Z0에 접근함을 설명하시오.
(5) 문제 2와 같이
라 하자.
송신기에서 보이는 입력 임피던스가
50 Ω보다 1% 이상 크지 않도록 하려 한다.
즉
을 만족하도록 한다.
t = tanh(αL)라 할 때
가 필요함을 보이시오.
(6)
을 이용하여
임을 보이시오.
α=(ln3)/10 km−1일 때 필요한 최소 길이를
로 나타내고 그 값을 약 19.1 km로 계산하시오.
(7) 다음 주장에 대하여 논술하시오.
F(L)
=
Z0
[
ZL
+
Z0 tanh(αL)
]
/
[
Z0
+
ZL tanh(αL)
]
(1) 쌍곡탄젠트의 정의를 이용하여
limu→∞ tanh u = 1
(2) 이를 이용하여
limL→∞ F(L)
=
Z0
(3) 다음 미분공식을 사용할 수 있다.
d(tanh u)/du
=
sech²u
>
0
sech u = 1/cosh u
G(t)
=
Z0
(
ZL + Z0t
)
/
(
Z0 + ZLt
)
(4) 반대로 ZL < Z0이면 F(L)이 증가하면서 Z0에 접근함을 설명하시오.
(5) 문제 2와 같이
Z0 = 50 Ω,
ZL = 100 Ω
0
≤
[F(L)−50]/50
≤
0.01
t ≥ 33/34
(6)
tanh u
=
(e2u−1)/
(e2u+1)
αL ≥ (1/2)ln67
L
≥
5 ln67 / ln3
(7) 다음 주장에 대하여 논술하시오.
“케이블을 충분히 길게 만들면 송신기에서 항상 Z₀에 가까운 임피던스가 보이므로 통신 성능도 좋아진다.”
선로의 감쇠, 반사 신호, 입력 임피던스의 극한을 이용하여
이 주장이 왜 반드시 옳지는 않은지 설명하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
[문제 풀이]
쌍곡탄젠트를 지수함수로 나타내면
이다.
u→∞이면
e−2u→0이므로
이다.
따라서 L→∞일 때
이다.
이제
를 미분하면
이다.
ZL > Z0이면
이다.
또한
이므로 L이 증가하면 t가 증가하고
F(L)은 감소한다.
그러나 그 극한은 Z0이므로
ZL보다 큰 부하에서는 입력 임피던스가 위쪽에서
Z0으로 접근한다.
반대로 ZL < Z0이면
이므로 입력 임피던스는 아래쪽에서
Z0으로 증가한다.
이제 Z0=50, ZL=100이라 하면
이다.
따라서 상대차이는
이다.
이 값이 0.01 이하이려면
이므로
이다.
또
이므로
에서
을 얻는다.
따라서
이다.
α=(ln3)/10이면
이다.
그러나 선로가 길어져 입력 임피던스가 Z0에 가까워진다는 사실을 통신 성능이 좋아진다는 의미로 해석해서는 안 된다. 이 현상은 긴 손실 선로에서 부하에서 반사된 신호가 송신기까지 되돌아오는 동안 크게 감쇠하여 부하의 차이가 송신기에서 잘 보이지 않게 되는 것과 관련되어 있다. 동시에 송신기에서 부하로 진행하는 유효 신호도 감쇠할 수 있다. 따라서 “반사가 작게 관측된다” 와 “신호가 효율적으로 전달된다” 는 서로 다른 판단이다. 실제 통신 설계에서는 임피던스 정합과 함께 선로 손실, 전송거리, 수신 신호의 크기 등을 동시에 고려해야 한다.
쌍곡탄젠트를 지수함수로 나타내면
tanh u
=
(1−e−2u)
/
(1+e−2u)
limu→∞ tanh u = 1
따라서 L→∞일 때
F(L)
→
Z0
[
ZL + Z0
]
/
[
Z0 + ZL
]
=
Z0
이제
G(t)
=
Z0
(
ZL + Z0t
)
/
(
Z0 + ZLt
)
G‘(t)
=
Z0
(
Z0²
−
ZL²
)
/
(
Z0 + ZLt
)²
G‘(t) < 0
d[tanh(αL)]/dL
=
α sech²(αL)
>
0
반대로 ZL < Z0이면
G‘(t) > 0
이제 Z0=50, ZL=100이라 하면
F(L)/50
=
(2+t)/(1+2t)
[
F(L)−50
]/50
=
(1−t)/(1+2t)
100(1−t)
≤
1+2t
99 ≤ 102t
99 ≤ 102t
t ≥ 33/34
또
tanh(αL)
=
[
e2αL−1
]
/
[
e2αL+1
]
[
e2αL−1
]
/
[
e2αL+1
]
≥
33/34
e2αL
≥
67
αL ≥ (1/2)ln67
L
≥
5 ln67/ln3
≈
19.1 km
그러나 선로가 길어져 입력 임피던스가 Z0에 가까워진다는 사실을 통신 성능이 좋아진다는 의미로 해석해서는 안 된다. 이 현상은 긴 손실 선로에서 부하에서 반사된 신호가 송신기까지 되돌아오는 동안 크게 감쇠하여 부하의 차이가 송신기에서 잘 보이지 않게 되는 것과 관련되어 있다. 동시에 송신기에서 부하로 진행하는 유효 신호도 감쇠할 수 있다. 따라서 “반사가 작게 관측된다” 와 “신호가 효율적으로 전달된다” 는 서로 다른 판단이다. 실제 통신 설계에서는 임피던스 정합과 함께 선로 손실, 전송거리, 수신 신호의 크기 등을 동시에 고려해야 한다.
도해 3. 선로가 길어질수록 부하의 영향이 희미해지는 과정
결론: tanh(αL) → 1이므로 L → ∞에서 Zin → Z₀이다. 그러나 입력 임피던스가 Z₀에 가까워지는 것만으로 통신선로의 성능이 좋다고 판단할 수는 없다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 | 배점 |
|---|---|---|
| 극한 분석 | tanh u→1을 지수함수로 증명하고 Zin→Z₀를 정확하게 유도함. | 10점 |
| 미분과 단조성 | G′(t)의 부호와 tanh(αL)의 증가성을 이용하여 입력 임피던스의 단조성을 설명함. | 10점 |
| 설계조건 계산 | 1% 조건에서 tanh(αL)≥33/34와 L≥5ln67/ln3을 정확히 유도함. | 10점 |
| 통신 시스템 논술 | 입력 임피던스의 안정화와 신호전송 효율을 구별하고 감쇠·반사·정합의 관계를 종합적으로 설명함. | 10점 |
수학적 결론
쌍곡선함수가 통신 시스템에 등장하는 근본적인 이유는
전송선로에서 서로 반대 방향으로 진행하는 신호가
지수함수의 합과 차로 표현되기 때문이다.
두 지수함수를 대칭적으로 더하면 cosh,
빼면 sinh가 나타난다.
그리고 전압과 전류의 비인 임피던스를 계산하면
sinh와 cosh의 비인 tanh가 자연스럽게 등장한다.
따라서 tanh는 통신공학자가 계산을 편리하게 하기 위해 임의로 도입한 함수가 아니라
진행파와 반사파가 동시에 존재하는 전송선로의 구조에서
수학적으로 필연적으로 나타나는 함수이다.
또한 tanh가 1로 수렴한다는 성질은
손실이 있는 선로가 충분히 길어질 때
송신기에서 바라본 입력 임피던스가 부하 임피던스보다
선로의 특성 임피던스에 가까워지는 현상을 설명한다.
그러나 이러한 극한 결과만으로 통신 품질을 판단할 수는 없다.
반사 신호의 영향이 작아지는 동안 실제 전송 신호 역시 감쇠할 수 있기 때문이다.
결국 통신 시스템에서 쌍곡선함수는
신호의 진행·반사·감쇠와 임피던스가 거리와 함께 어떻게 변화하는지를 압축하여 표현하는 수학적 언어라고 할 수 있다.
© 2026 청랑학습코칭(JADEWOLVES). All Rights Reserved. 무단 전재 및 재배포 금지.
