2022 개정 중학교 1학년 1학기 · I. 수와 연산

소인수분해의 활용 — 제곱수 만들기 핵심

출제 및 검토: 청랑학습코칭 수학 연구팀 | 유형: 소인수분해와 지수의 짝수 조건 추론

학습 목표 및 출제 의도: 본 문제는 중학교 1학년 1학기 ‘소인수분해’ 단원의 대표적인 응용 유형인 소인수분해를 이용하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 조건을 다룹니다. 지수를 모두 짝수로 만들기 위해 필요한 수의 성질을 파악하고, 여러 가능한 조건 중 특정 순서에 해당하는 수를 정확히 찾아내는 논리적 추론 능력을 기릅니다.

문항 번호	핵심 평가 요소	난이도	권장 풀이 시간
실전 대비 1번	소인수분해, 지수의 짝수 조건, 두 번째로 작은 자연수 추론	★★☆ 중상	3분 00초

난이도: ★★☆ 실력 완성

[문제 1] 자연수 $540$에 자연수 $a$를 곱하여 어떤 자연수 $b$의 제곱이 되도록 하려고 한다.

곱할 수 있는 자연수 $a$ 중 두 번째로 작은 수를 선택할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

① 105
② 180
③ 225
④ 240
⑤ 255

정답 ④ 240

핵심 도출 근거: $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$이므로, 지수를 짝수로 만들기 위해 곱해야 하는 자연수 $a = 15 \times k^2$ 꼴입니다. 두 번째로 작은 $a$는 $k=2$일 때 $60$이며, 이때 $540 \times 60 = 32400 = 180^2$이 되어 $b = 180$입니다. 따라서 $a+b = 60 + 180 = 240$이 됩니다.

핵심 개념: 제곱수의 성질과 소인수분해

1. 제곱수의 특징: 어떤 자연수의 제곱이 되는 수(제곱수)를 소인수분해하면 모든 소인수의 지수가 짝수라는 특징이 있습니다.

2. 곱해야 하는 수의 결정: 소인수분해 결과 지수가 홀수인 소인수를 찾아 지수를 짝수로 만들어주는 것이 핵심입니다. 이때 가능한 수들의 형태는 (지수가 홀수인 소인수들의 곱) $\times (\text{자연수})^2$ 의 꼴이 됩니다.

단계별 상세 풀이 과정

Step 1

주어진 수 $540$ 소인수분해하기

$540$을 소인수분해하여 각 소인수의 지수를 조사합니다.

540 = 2^2 \times 3^3 \times 5

Step 2

자연수 $a$의 일반적인 조건 찾기

$540 \times a$가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수여야 합니다. 현재 $3$의 지수($3$)와 $5$의 지수($1$)가 홀수이므로, $a$는 반드시 $3$과 $5$를 최소 하나씩은 인수로 가지고 있어야 합니다.

따라서 곱할 수 있는 자연수 $a$의 꼴은 다음과 같이 일반화할 수 있습니다.

a = 3 \times 5 \times k^2 = 15 \times k^2 \quad (k\text{는 자연수})

Step 3

두 번째로 작은 자연수 $a$ 구하기

$a = 15 \times k^2$에서 자연수 $k$에 작은 수부터 차례대로 대입해 봅니다.

$k=1$일 때, 가장 작은 자연수 $a = 15 \times 1^2 = 15$
$k=2$일 때, 두 번째로 작은 자연수 $a = 15 \times 2^2 = 15 \times 4 = 60$

문제에서 ‘두 번째로 작은 수’를 요구했으므로 $a = 60$이 확정됩니다.

Step 4

자연수 $b$ 구하기 및 최종 연산

$a = 60$을 대입하여 어떤 자연수 $b$의 제곱이 되는지 구합니다.

540 \times 60 = (2^2 \times 3^3 \times 5) \times (2^2 \times 3 \times 5) = 2^4 \times 3^4 \times 5^2

지수법칙을 적용하여 전체 식을 제곱의 형태로 묶어냅니다.

2^4 \times 3^4 \times 5^2 = (2^2 \times 3^2 \times 5)^2 = (4 \times 9 \times 5)^2 = 180^2

따라서 $b = 180$입니다. 구하고자 하는 최종 합을 연산합니다.

\therefore a + b = 60 + 180 = 240

오답 분석: 수험생이 가장 많이 범하는 3대 오류

오답 ①(105)을 선택한 원인: 문제를 끝까지 정독하지 않고 관성적으로 ‘가장 작은 수’ $a = 15$를 대입하여 $b = 90$을 도출한 후, $15 + 90 = 105$로 계산한 흔한 실수입니다.
오답 ②(180)를 선택한 원인: $a=60$을 정확히 찾아 어떤 수의 제곱인지 계산하는 과정에서 $b=180$까지만 구하고 최종 질문인 $a+b$의 연산을 누락한 경우입니다.
오답 ③(225) 또는 ⑤(255)를 선택한 원인: $(2^2 \times 3^2 \times 5)$를 계산할 때 $4 \times 9 \times 5$의 곱셈을 암산하는 과정에서 단순 연산 실수를 범하여 오답을 선택한 사례입니다.

단원 핵심 요약 및 판단 기준

어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수분해 시 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
지수가 홀수인 소인수를 짝수로 만들기 위해 곱해야 하는 기본수를 먼저 확정합니다.
곱할 수 있는 모든 자연수의 형태는 반드시 기본수 $\times (\text{자연수})^2$ 꼴임을 기억합니다.

소인수분해 활용

소인수분해의 활용 — 제곱수 만들기 핵심

핵심 개념: 제곱수의 성질과 소인수분해