함수의 극한 정의
함수의 극한의 엄밀한 정의와 성질 기초
학습 목표 및 출제 의도: 본 문제는 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ(구 수학Ⅱ) ‘함수의 극한과 연속’ 단원의 출발점이 되는 함수의 극한에 대한 기본 성질을 엄밀하게 이해하고 있는지 평가합니다. 두 함수가 각각 수렴할 때에만 사칙연산이 분배된다는 전제조건과 분모가 0이 되는 반례, 극한의 대소 관계에서 등호가 성립하는 원리를 명확히 판별하는 능력을 점검합니다.
| 문항 번호 | 단원 및 핵심 성취기준 | 난이도 | 권장 풀이 시간 |
|---|---|---|---|
| 개념 완성 1번 | 함수의 극한에 대한 성질 및 수렴 전제조건의 엄밀성 판정 | ★★☆ 개념 완성 | 3분 |
[문제 1] 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $x \to a$일 때의 극한에 대한 설명으로 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a$는 실수이다.)
ㄱ. $\lim_{x \to a} \{f(x) + g(x)\}$ 와 $\lim_{x \to a} \{f(x) – g(x)\}$ 의 값이 각각 존재하면 $\lim_{x \to a} f(x)$ 의 값도 존재한다.
ㄴ. $\lim_{x \to a} f(x)$ 와 $\lim_{x \to a} \{f(x)g(x)\}$ 의 값이 각각 존재하면 $\lim_{x \to a} g(x)$ 의 값도 항상 존재한다.
ㄷ. $a$에 가까운 모든 실수 $x$ ($x \neq a$)에 대하여 $f(x) < g(x)$이고 $\lim_{x \to a} f(x)$, $\lim_{x \to a} g(x)$가 각각 수렴하면 $\lim_{x \to a} f(x) < \lim_{x \to a} g(x)$이다.
ㄹ. $\lim_{x \to a} g(x) = 0$이고 $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 의 값이 존재하면 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$이다.
- ① ㄱ
- ② ㄱ, ㄴ
- ③ ㄱ, ㄹ
- ④ ㄴ, ㄷ
- ⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ
핵심 판정 근거: 합과 차의 선형결합을 통한 수렴 증명(ㄱ 참), 곱에 관한 극한 성질을 이용한 분자의 0 수렴 증명(ㄹ 참)은 항상 성립합니다. 반면 $f(x) \to 0$일 때 나눗셈 성질을 적용할 수 없는 반례(ㄴ 거짓), 등호가 성립하는 함수의 극한 대소 관계(ㄷ 거짓)는 대표적인 오류 명제입니다.
핵심 개념: 함수의 극한에 대한 기본 성질의 대원칙
1. 사칙연산의 전제조건: $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ ($\alpha, \beta$는 실수)와 같이 두 함수가 각각 독립적으로 수렴할 때에만 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(단, 분모 $\beta \neq 0$) 기호를 분배할 수 있습니다.
2. 극한의 대소 관계와 등호: 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) < g(x)$이더라도 극한값을 취하면 $\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)$와 같이 등호가 성립할 수 있습니다.
보기별 정밀 증명 및 반례 분석
$\lim \{f(x)+g(x)\}$와 $\lim \{f(x)-g(x)\}$의 수렴성 (참)
$\lim_{x \to a} \{f(x) + g(x)\} = \alpha$, $\lim_{x \to a} \{f(x) – g(x)\} = \beta$ ($\alpha, \beta$는 실수)라 가정합니다.
함수 $f(x)$는 두 함수의 합으로 표현 가능합니다.
두 식 $\{f(x)+g(x)\}$와 $\{f(x)-g(x)\}$가 각각 수렴하므로 실수배 및 덧셈 성질을 적용할 수 있습니다.
따라서 $\lim_{x \to a} f(x)$는 항상 존재합니다. (참)
$\lim f(x)$와 $\lim \{f(x)g(x)\}$의 수렴성 (거짓)
$g(x) = \dfrac{f(x)g(x)}{f(x)}$ 형태로 나눗셈 성질을 적용하려면 $\lim_{x \to a} f(x) \neq 0$ 조건이 필수적입니다. $\lim_{x \to a} f(x) = 0$인 경우 반례가 발생합니다.
[반례 제시] $a=0$일 때,
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$이고 $f(x)g(x) = 0$이므로 $\lim_{x \to 0} f(x)g(x) = 0$입니다. 그러나 $g(x)$는 우극한(1)과 좌극한(-1)이 일치하지 않아 극한값이 존재하지 않습니다. (거짓)
함숫값의 엄격한 대소 관계와 극한값의 관계 (거짓)
함숫값이 $f(x) < g(x)$를 만족하더라도, 한 점 $x \to a$로 다가갈 때 두 함수의 목표값은 같아질 수 있습니다.
[반례 제시] $a=0$일 때, $f(x) = -x^2$, $g(x) = x^2$으로 설정합니다.
$x \neq 0$인 모든 실수에 대하여 $-x^2 < 0 < x^2$이므로 $f(x) < g(x)$가 성립합니다. 그러나 극한값을 계산하면 다음과 같습니다.
등호가 성립하므로 $\lim_{x \to a} f(x) < \lim_{x \to a} g(x)$는 거짓입니다. 옳은 명제는 등호가 포함된 $\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)$이어야 합니다. (거짓)
분모가 0으로 수렴할 때 분수식 수렴과 분자의 극한 (참)
$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L$ ($L$은 실수)이라 놓습니다.
$f(x)$는 $f(x) = g(x) \times \dfrac{f(x)}{g(x)}$ ($g(x) \neq 0$)로 나타낼 수 있습니다.
$\lim_{x \to a} g(x) = 0$과 $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L$이 각각 수렴하므로 곱셈 성질을 적용할 수 있습니다.
따라서 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$이 성립합니다. (참)
오답 분석: 수험생이 가장 자주 범하는 3가지 함정
- 오답 ①(ㄱ)을 선택한 원인: 명제 ㄹ에서 ‘분수식이 수렴하고 분모가 0이면 분자도 0이다’를 단순 암기 공식으로만 인지하고, 이것이 함수의 곱에 관한 극한 기본 성질에 의해 증명되는 참인 명제임을 간과한 경우입니다.
- 오답 ②(ㄱ, ㄴ)를 선택한 원인: 명제 ㄴ에서 $g(x) = \dfrac{f(x)g(x)}{f(x)}$로 변형할 때 ‘분모의 극한값이 0이 아니어야 한다’는 나눗셈 성질의 필수 전제조건을 누락한 오류입니다.
- 오답 ④(ㄴ, ㄷ) 또는 ⑤(ㄱ, ㄷ, ㄹ)를 선택한 원인: 명제 ㄷ에서 부등호 조건이 극한값에서도 보존된다고 착각하여 등호($\le$)의 발생 가능성을 배제한 경우입니다.
유사 변형 문제로 실력 점검
[유사문제] 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 다음 명제의 참, 거짓을 판정하시오.
“$\lim_{x \to 1} \{2f(x) + g(x)\} = 5$이고 $\lim_{x \to 1} \{f(x) – 2g(x)\} = 0$이면, $\lim_{x \to 1} f(x)g(x)$의 값은 $2$이다.”
단원 핵심 요약 및 판단 기준
- 극한의 기본 성질은 각 함수의 극한값이 ‘독립적으로 수렴할 때’에만 적용된다.
- 나눗셈 분배는 반드시 ‘분모의 극한값이 0이 아닐 때’에만 유효하다.
- 함숫값의 엄격한 대소 관계($f < g$)에 극한을 취하면 등호가 포함된 관계($\lim f \le \lim g$)로 확장된다.
- 분수식 $\frac{f(x)}{g(x)}$가 수렴하고 분모 $g(x) \to 0$이면, 곱셈 성질에 의해 분자 $f(x) \to 0$이 증명된다.
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