좌극한과 우극한에 대한 완벽한 개념 이해 문제
좌극한과 우극한의 활용 심화
학습 목표 및 범위: 본 학습 자료는 고등학교 2학년 및 3학년(수능 준비생)을 대상으로, 수학Ⅱ ‘함수의 극한과 연속’ 단원에서 빈출되는 좌극한과 우극한의 활용 고난도 킬러 문항을 다룹니다. 절댓값을 포함한 이차함수의 그래프 개형을 통해 교점 개수 함수 $f(x)$의 불연속점을 파악하고, 연속함수 $g(x)$와의 곱 $h(x)=f(x)g(x)$가 연속이 되기 위한 대수적 조건을 단계별로 해결하는 능력을 기릅니다.
| 문항 번호 | 단원 및 핵심 개념 | 난이도 | 예상 소요 시간 |
|---|---|---|---|
| 실전 1번 | 좌우극한의 차를 이용한 미정계수 결정 및 곱의 연속성 | ★★★ 심화 | 4분 |
[문제 1] 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $g(x)$와 실수 $x$에 대하여 $t$에 대한 방정식
의 서로 다른 실근의 개수를 $f(x)$라 하자. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(6)$의 값은?
(가) $\displaystyle \lim_{x \to 4+} h(x) – \lim_{x \to 4-} h(x) = -8$
(나) 함수 $h(x)$는 $x=0$에서 연속이다.
- ① 12
- ② 15
- ③ 18
- ④ 21
- ⑤ 24
핵심 도출 근거: 조건 (나)에 의해 $g(0) = 0$이 도출되어 $g(x) = x^2 + px$로 설정되며, 조건 (가)의 좌우극한 차 $2g(4) – 4g(4) = -8$로부터 $g(4) = 4, p = -3$이 확정되므로 $g(6) = 36 – 18 = 18$입니다.
핵심 개념: 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성
1. 곱함수의 연속 조건: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 좌극한과 우극한이 서로 다른 유한 확정값으로 불연속일 때, 모든 실수에서 연속인 다항함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 $x=a$에서 연속이 되기 위한 필요충분조건은 $g(a) = 0$입니다.
2. 절댓값 함수의 교점 해석: $y=|t(t-4)|$의 그래프는 $t=2$에서 극댓값 $4$를 가지며, $x$축과의 교점 개수는 $x$의 범위($x < 0$, $x=0$, $0 < x < 4$, $x=4$, $x > 4$)에 따라 불연속적으로 전환됩니다.
단계별 상세 풀이 과정
함수 $f(x)$의 구간별 함숫값 및 극한값 결정
곡선 $y = |t^2 – 4t|$와 직선 $y = x$의 교점을 조사합니다. 꼭짓점 $(2, -4)$를 접어 올렸으므로 $t=2$에서 최댓값 4를 갖습니다.
따라서 $x \to 0$과 $x \to 4$ 부근의 극한값은 다음과 같습니다.
- $\lim_{x \to 0-} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0+} f(x) = 4$
- $\lim_{x \to 4-} f(x) = 4, \quad \lim_{x \to 4+} f(x) = 2$
조건 (나)를 이용한 $g(0)$ 및 이차함수 기본형 설정
$h(x) = f(x)g(x)$가 $x=0$에서 연속이므로 좌우 극한값이 같아야 합니다.
따라서 $4g(0) = 0 \implies g(0) = 0$입니다. 최고차항 계수가 1인 이차함수이므로 일차항 계수를 $p$로 두면 다음과 같습니다.
조건 (가)의 극한 차를 통한 미정계수 $p$ 산출
$x \to 4$에서의 우극한과 좌극한을 대입합니다.
조건 (가)의 차이 식에 대입합니다.
$g(x) = x^2 + px$에 $x=4$를 대입하여 $p$를 구합니다.
따라서 완성된 이차함수는 $g(x) = x^2 – 3x$입니다.
목표값 $g(6)$ 연산
오답 분석: 수험생이 가장 자주 범하는 3가지 함정
- 오답 ①(12)을 선택한 원인: 조건 (가)의 우극한과 좌극한의 순서를 반대로 적용하여 $4g(4) – 2g(4) = -8 \implies g(4) = -4$로 계산한 경우입니다. 이 경우 $p = -5$가 되어 $g(6) = 36 – 30 = 6$ 또는 계산 실발로 12를 도출하게 됩니다.
- 오답 ②(15)를 선택한 원인: 꼭짓점의 극댓값 4를 고려하지 않고 $x=4$에서의 교점 개수를 $f(4)=2$로 오판하거나, $g(x)$의 최고차항 계수 1을 망각하고 $g(0)$ 조건을 빠뜨린 채 접근한 경우입니다.
- 오답 ④(21)를 선택한 원인: $x=0$에서의 함숫값 $f(0)=2$에 매몰되어 $g(0) \neq 0$으로 잘못 가정한 후 부호 실수를 더한 전형적인 오개념 사례입니다.
유사 변형 문제로 실력 다지기
[유사문제] 최고차항 계수가 1인 이차함수 $g(x)$에 대하여 방정식 $|t^2 – 6t| = x$의 실근 개수를 $f(x)$라 하자. $h(x) = f(x)g(x)$가 $x=0$에서 연속이고, $\lim_{x \to 9+} h(x) – \lim_{x \to 9-} h(x) = -18$일 때, $g(5)$의 값을 구하시오.
단원 핵심 요약 및 판단 기준
- 방정식 $|g(t)|=x$의 실근 개수 함수 $f(x)$는 극값 및 경계 접점에서 불연속을 형성한다.
- 좌우 극한의 차이가 주어진 조건식은 불연속 계수와 다항함수 함숫값의 일차방정식으로 환원된다.
- 연속함수와 불연속함수의 곱이 연속이 되려면 불연속 지점에서 연속함수가 $0$이어야 한다.
