[문제 풀이]

$y = e^x – 1$ 을 미분하면 $y’ = e^x$ 이다.
점 $P(t, e^t – 1)$ 에서의 접선 $l$ 의 기울기는 $e^t$ 이다.
따라서 직선 $l$ 의 방정식은 $y – (e^t – 1) = e^t(x – t)$ 이며 정리하면 다음과 같다.

$x$절편을 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입하고 양변을 $e^t$ 로 나누면 점 $Q$의 $x$좌표는 다음과 같다.

[문제 풀이]

곡선 $y=e^x-1$은 아래로 볼록(convex)한 함수이므로 접선 $l$은 구간 $[0, t]$에서 항상 곡선보다 아래쪽에 위치합니다.
따라서 적분 식은 (곡선 $C$) – (접선 $l$) 형태로 설정해야 합니다.

위끝 $t$ 와 아래끝 $0$ 을 대입하면 다음과 같습니다.

동류항을 묶어 정리하면 구하는 식을 얻습니다.

[문제 풀이]

이 극한은 $\frac{0}{0}$ 꼴이므로, 정적분과 도함수의 관계 및 함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)를 이용하여 해결합니다.

함수 $S(t) = e^t \left( 1 – t + \frac{1}{2}t^2 \right) – 1$ 을 미분하면 다음과 같습니다.

$S(0) = 0$ 이므로 미적분학의 기본정리에 의해 $S(t)$ 는 아래와 같이 적분식으로 표현됩니다.

$0 < x < t$ 인 구간에서 $e^x$ 는 단조증가하므로 $1 < e^x < e^t$ 가 성립합니다.
양변에 양수 $\frac{1}{2}x^2$ 을 곱하면 다음과 같습니다.

각 변을 $0$ 부터 $t$ 까지 정적분하면 부등식의 성질에 의해 다음 관계가 성립합니다.

$t > 0$ 이므로 양변을 $t^3$ 으로 나누면 $\frac{1}{6} < \frac{S(t)}{t^3} < \frac{1}{6}e^t$ 가 됩니다.

따라서 조임 정리(샌드위치 정리)에 의해 구하는 극한값은 $\frac{1}{6}$ 입니다.