[수능 수학] 적분 문제 1
연속함수의 성질과 정적분 응용 문제
실전 문제
함수 \(f(x)\)는 다음과 같이 정의되어 있다.
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{a x^2 + 2x – 3 + \int_{0}^{1} f'(t)\,\mathrm{d}t}{x} & x\neq 0,\\[1.2em] b & x=0. \end{cases} \]
단, \(f(x)\)는 다항함수이며, \(f(x)\)가 \(x=0\)에서 연속일 때,
\(\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\)의 값을 구하시오.
- ① 9
- ② 10
- ③ 11
- ④ 12
- ⑤ 13
최종 정답
② 10
단계별 상세 풀이
1단계
미적분학의 기본정리 적용
도함수의 정적분 식은 미적분학의 기본정리에 의해 다음과 같이 정리됩니다.
\[ \int_{0}^{1} f'(t)\,\mathrm{d}t = f(1) – f(0) = f(1) – b \]
따라서 $x \neq 0$일 때의 함수 식은 다음과 같습니다.
\[ f(x) = \frac{ax^2 + 2x – 3 + f(1) – b}{x} \]
2단계
다항함수 조건과 연속성 확인
\(f(x)\)가 다항함수이므로 분수 형태의 식에서 분모의 $x$가 완전히 약분되어야 합니다. 즉, 분자의 상수항이 0이어야 합니다.
\[ -3 + f(1) – b = 0 \implies f(1) – b = 3 \]
상수항이 0이므로 분자에서 $x$를 묶어 약분하면 다음과 같습니다.
\[ f(x) = \frac{ax^2 + 2x}{x} = ax + 2 \quad (x \neq 0) \]
\(f(x)\)가 $x=0$에서 연속이므로 극한값과 함숫값이 같아야 합니다.
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (ax + 2) = 2 = f(0) = b \implies b = 2 \]
3단계
계수 $a$의 값 및 함수 식 결정
\(f(x) = ax + 2\)이므로 $x=1$을 대입하면 \(f(1) = a + 2\)입니다.
1단계에서 구한 조건 식 \(f(1) – b = 3\)에 \(b = 2\)를 대입합니다.
\[ (a + 2) – 2 = 3 \implies a = 3 \]
따라서 구하는 다항함수는 다음과 같이 확정됩니다.
\[ f(x) = 3x + 2 \]
4단계
정적분 계산
구하고자 하는 정적분의 값을 계산합니다.
\[ \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2} (3x + 2)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{3}{2} \times 4 + 2 \times 2 \right) – 0 = 6 + 4 = 10 \]
