[수능 수학] 확률 조합 문제 1
서로소와 확률의 덧셈정리 응용 확률 문제
실전 문제
주머니 속에 1부터 10까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 구슬 10개가 들어 있다.
이 주머니에서 임의로 2개의 구슬을 동시에 꺼낼 때,
꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수의 곱이 홀수이거나 두 자연수가 서로소일 확률은?
① $\dfrac{26}{45}$
② $\dfrac{28}{45}$
③ $\dfrac{30}{45}$
④ $\dfrac{31}{45}$
⑤ $\dfrac{32}{45}$
단계별 상세 풀이
1단계
전체 경우의 수
10개 중 2개를 동시에 꺼내는 경우의 수:
$$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$$
2단계
사건 A : 두 수의 곱이 홀수인 쌍
두 수 모두 홀수여야 합니다. (홀수: 1, 3, 5, 7, 9 총 5개)
$$n(A) = {_5}C_2 = 10$$
3단계
사건 B : 서로소인 쌍
전체 경우의 수에서 서로소가 아닌 쌍(공약수를 2 이상 갖는 쌍)을 여사건으로 빼서 계산합니다.
| 공약수 | 해당 쌍 | 개수 |
|---|---|---|
| 2 | (2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (4,6), (4,8), (4,10), (6,8), (6,10), (8,10) | 10쌍 |
| 3 | (3,6), (3,9), (6,9) | 3쌍 |
| 5 | (5,10) | 1쌍 |
| 중복 제거 | (6,10) → 공약수 2와 5에서 중복 계산됨 | -1쌍 |
서로소가 아닌 쌍의 수: $10 + 3 + 1 – 1 = 13$쌍
$$n(B) = 45 – 13 = 31$$
4단계
교집합 A ∩ B : 곱이 홀수이면서 서로소인 쌍
홀수끼리의 쌍 10개 중 (3, 9)만 공약수 3을 가지므로 서로소가 아닙니다.
$$n(A \cap B) = 10 – 1 = 9$$
최종 정답
⑤ $\dfrac{32}{45}$
