컴퓨터는 근의공식과 인수분해중 무엇을 선택할까?

[문제 풀이]

광선 위의 점 가 구 위에 놓이려면 이어야 한다. 전개하면 을 얻는다.

인수분해하면 이므로 이다.

한편 근의 공식을 이용하면 이므로 역시 을 얻는다.

광선은 t가 증가하는 방향으로 진행하므로 먼저 만나는 점은 더 작은 양의 근 t = 3에 해당한다. 따라서 첫 교점은 이다.

이 문제에서는 정수 3과 7을 쉽게 찾을 수 있으므로 인수분해가 매우 간단하다. 그러나 이는 계수가 특별하게 선택된 경우이다. 일반적인 실수 계수의 이차방정식은 정수나 유리수 범위에서 쉽게 인수분해되지 않을 수 있다. 따라서 이 한 예만으로 “컴퓨터는 인수분해를 이용하는 것이 더 효율적이다” 라고 일반화할 수는 없다.

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
수학적 모델링	광선의 좌표를 구의 방정식에 대입하여 이차방정식을 정확히 유도함.	10점
두 해법 비교	인수분해와 근의 공식으로 같은 근을 구하고 실생활에서 두 근의 의미를 설명함.	15점

[문제 풀이]

구의 중심으로부터 광선 위의 점까지의 벡터는 이다. 따라서 을 전개하면 이다. 따라서 제시된 a, b, c를 얻는다.

한편 이고 완전제곱하면 이다. 따라서 가 된다.

a > 0이므로 이 이차식의 최솟값은 이다. 따라서 D < 0이면 최솟값이 양수이므로 식이 0이 될 수 없고 교점이 없다. D = 0이면 최솟값이 정확히 0이므로 한 점에서만 만나고, 이는 접하는 경우이다. D > 0이면 최솟값이 음수가 되어 위로 열린 이차함수의 그래프가 t축과 두 번 만나므로 두 실근이 존재한다.

따라서 판별식은 광선 또는 광선이 놓인 직선과 구의 교차 구조를 대수적으로 압축한 값이라고 볼 수 있다.

또한 이므로 계수를 비교하면 를 얻는다.

즉 인수분해는 근과 무관한 별개의 방법이 아니다. 근을 알고 있다면 바로 로 인수분해할 수 있다. 반대로 일반적인 계수에서는 인수분해를 위해 바로 그 두 근을 찾아야 할 수 있다. 따라서 정수나 간단한 유리수 계수에서 패턴이 쉽게 보이면 인수분해가 효율적일 수 있지만, 임의의 실수 계수를 입력받는 계산 절차에서는 항상 간단한 인수분해가 존재한다고 가정할 수 없다.

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
일반식 유도	광선과 구의 조건에서 일반적인 이차방정식의 세 계수를 정확히 유도함.	10점
판별식 증명	완전제곱을 이용하여 D의 부호와 교점 개수 사이의 관계를 증명함.	15점
인수분해의 구조	근과 계수의 관계를 유도하고 인수분해가 일반적인 수치 알고리즘으로 항상 간단하지 않은 이유를 논증함.	10점

[문제 풀이]

유효숫자 8자리의 계산에서는 로 저장될 수 있다. 따라서 작은 근을 직접 계산하면 이 된다. 그러나 원래 방정식에 x = 0을 대입하면 좌변은 1이므로 0은 근이 아니다.

실제 작은 근이 사라진 이유는 절댓값이 거의 같은 두 큰 수를 서로 빼면서 두 수의 미세한 차이에 들어 있던 유효정보가 사라졌기 때문이다. 이러한 현상을 수치 계산에서는 상쇄에 의한 유효숫자 손실로 해석할 수 있다.

한편 이므로 상수항을 비교하면 이다. 큰 근은 로 안정적으로 계산할 수 있으므로 을 얻는다.

[안정적인 일반식의 증명]

b > 0이라고 하자. 그러면 이므로 이다. 이는 근의 공식의 한 근이다. b < 0인 경우에는 이므로 역시 근의 공식의 한 근을 얻는다.

따라서 는 정확한 한 근이다. 근과 계수의 관계에서 이므로 이다. 따라서 두 근을 모두 얻는다.

이 계산에서 q는 b와 √D의 부호를 선택하여 절댓값이 큰 두 수를 서로 빼는 대신 같은 방향으로 더하도록 구성되어 있다. 따라서 근의 공식의 한쪽 가지에서 발생할 수 있는 심한 상쇄를 피하고, 다른 근은 근의 곱을 이용하여 계산할 수 있다.

[논술 답안의 핵심]

“컴퓨터는 근의 공식을 사용하는가, 인수분해를 사용하는가?”라는 질문에는 둘 중 하나만 사용한다고 답하기 어렵다.

문자의 계수를 다루는 기호 계산에서는 식을 정확하게 단순화하거나 구조를 보여 주기 위해 인수분해를 사용할 수 있다. 특히 정수나 유리수 범위에서 간단한 인수분해가 존재하면 매우 유용하다.

그러나 임의의 실수 계수가 주어지는 수치 계산에서 먼저 사람이 하는 방식으로 정수 인수를 찾아내는 것은 일반적인 방법이 아니다. 간단한 인수분해가 존재하지 않을 수도 있기 때문이다. 이 경우 판별식과 제곱근을 이용하는 이차방정식 해법이 더 체계적이다.

그렇다고 학교에서 배운 근의 공식을 컴퓨터가 항상 문자 그대로 계산하면 된다는 뜻도 아니다. 컴퓨터는 유한한 자릿수로 수를 표현하므로 거의 같은 두 큰 수를 빼는 과정에서 심한 반올림 오차가 생길 수 있다. 따라서 실제 수치 계산에서는 수학적으로 동치이면서도 오차가 덜 발생하도록 변형한 계산식을 사용하는 것이 중요하다.

결국 컴퓨터의 계산 방법을 결정하는 기준은 “인수분해인가 근의 공식인가”라는 단순한 선택이 아니라, 입력값의 성격, 정확한 기호 결과가 필요한지 여부, 계산량, 그리고 수치적 안정성이다.

평가 요소	채점 기준 및 감점 요인	배점
수치오차 분석	유효숫자 제한으로 작은 근이 소실되는 과정을 정확히 설명함.	10점
안정식 유도	근과 계수의 관계를 이용하여 q/a와 c/q가 두 근이 됨을 증명함.	15점
종합 논술	인수분해·근의 공식·기호 계산·수치 계산·수치적 안정성을 구분하여 컴퓨터의 해법 선택을 논증함.	15점