지수의 정의의 중요성
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
01. 지수법칙과 양수 조건
양수인 두 수의 거듭제곱 관계 · 유리수 지수 · 조건식
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 지수법칙
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중
양수 조건을 이용해 공통 매개변수로 바꾸고 유리수 지수를 계산하는 문항이다.
[가] 두 양수의 거듭제곱 관계
양수 x, y가 다음 조건을 만족한다고 하자.
x > 0, y > 0
x2 = y3, xy = 32
양수의 유리수 지수는 일반적인 지수법칙에 따라 계산한다. 예를 들어 (t3)1/6 = t1/2이다.
[나] 구할 값
이때 x1/6y1/4의 값을 구하여라.
위 조건을 만족할 때 x1/6y1/4의 값은? [4점]
조건
•x와 y는 양수이고, x2=y3, xy=32이다.
•유리수 지수는 양수 범위에서 지수법칙으로 계산한다.
수학 개념
Math Terms| 양수 조건 | 유리수 지수의 지수법칙과 양의 근을 안정적으로 적용하게 하는 조건이다. |
|---|---|
| 지수법칙 | (ar)s=ars, aras=ar+s를 양수 범위에서 사용한다. |
| 매개변수화 | 거듭제곱 관계를 x=t3, y=t2처럼 하나의 문자로 나타내는 방법이다. |
| 유일성 | t>0에서 t5=32의 해는 하나뿐이다. |
정답
③2
핵심 발상
x2=y3인 양수는 x=t3, y=t2로 나타낼 수 있다. 그러면 두 조건이 하나의 양수 t를 결정한다.
단계별 해설
x2=y3이고 x,y>0이므로
x=t3, y=t2 (t>0)로 둘 수 있다.
x=t3, y=t2 (t>0)로 둘 수 있다.
xy=t5=32=25이므로 t=2이다.
x1/6y1/4=(t3)1/6(t2)1/4
=t1/2t1/2=t=2
=t1/2t1/2=t=2
따라서 정답은 ③이다. 양수 조건이 있으므로 음의 다섯째근이나 부호 선택을 따로 고려하지 않는다.
오답 선지의 이유
- ①유리수 지수의 분모를 잘못 처리해 1/2로 만든 경우이다.
- ②x2=y3에서 x=y라고 놓은 경우이다.
- ③정답. t=2를 정확히 구해 목표식을 t로 정리했다.
- ④x1/6과 y1/4의 곱을 t가 아니라 t2로 계산한 경우이다.
- ⑤xy=32에서 t=32라고 중복 해석한 경우이다.
