지수함수 평행이동의 이해
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
06. 지수함수의 평행이동
두 점의 좌표 · 수평점근선 · 이동된 그래프의 함숫값
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 그래프의 평행이동
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중상
평행이동된 지수함수의 두 미지수를 두 점의 조건으로 결정하고 점근선과 목표 함숫값을 읽는 문항이다.
[가] 이동된 지수함수
실수 h,k에 대하여 함수를
g(x)=2x−h+k
로 정의한다. 이 그래프의 수평점근선은 y=k이다.
그래프 위의 두 점을 A(0,5), B(2,11)이라 하자.
[나] 구할 값
함수 g가 결정될 때 g(1)의 값을 구하여라.
g(1)의 값은? [4점]
주어진 그래프 정보
•g(x)=2x−h+k이고 h,k는 실수이다.
•g의 그래프는 A(0,5), B(2,11)을 지나며 수평점근선은 y=k이다.
수학 개념
Math Terms| 지수함수의 점근선 | 2x−h+k의 수평점근선은 y=k이다. |
|---|---|
| 그래프 위의 점 | 점의 좌표를 함수식에 대입해 방정식을 만든다. |
| 치환 | 2−h를 r로 두면 계산 구조가 단순해진다. |
| 함숫값 검산 | 구한 g를 A, B에 대입해 두 점을 다시 확인한다. |
정답
②7
핵심 발상
2−h를 양수인 하나의 문자 r로 두면 두 점의 조건이 일차방정식 두 개가 된다.
단계별 해설
r=2−h(>0)로 두면
A(0,5): r+k=5
B(2,11): 4r+k=11
A(0,5): r+k=5
B(2,11): 4r+k=11
두 식을 빼면 3r=6이므로 r=2, 따라서 k=3이다.
2−h=2=2¹이므로 −h=1, 즉 h=−1이다.
g(1)=21−(−1)+3=2²+3=7
또는 r=2−h=2를 이용하면 g(1)=2r+k=4+3=7이다. 따라서 정답은 ②이다.
오답 선지의 이유
- ①g(0)의 값을 목표값으로 착각했다.
- ②정답. g(1)=2r+k=4+3=7이다.
- ③r=2를 g(1)에 한 번만 반영한 경우이다.
- ④22와 점 B의 y좌표를 더해 얻은 값이다.
- ⑤수평점근선 k=3을 지수항에 더하지 않은 오류이다.
