지수방정식 풀이는 치환이 답이다
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
03. 지수방정식과 치환
같은 밑 · 양수 치환 · 부적합한 근의 제거
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 지수방정식
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중상
지수식을 양수인 변수로 치환해 이차방정식으로 바꾸고, 원래 지수식의 범위로 근을 걸러내는 문항이다.
[가] 지수방정식
실수 x에 대하여 다음 방정식을 생각한다.
22x − 3·2x − 4 = 0
2x는 모든 실수 x에서 양수이다.
[나] 치환의 범위
t=2x로 치환하면 t는 반드시 t>0이다. 이 조건을 이용해 방정식의 실근을 판단한다.
위 방정식의 모든 실근의 합은? [4점]
조건
•x는 실수이고 t=2x로 치환한다.
•치환한 변수는 t>0이어야 한다.
수학 개념
Math Terms| 지수 치환 | 22x=(2x)²로 바꾸어 이차방정식의 꼴을 만든다. |
|---|---|
| 치환 변수의 범위 | t=2x는 항상 t>0이다. |
| 지수함수의 일대일성 | 밑 2가 1보다 크므로 2x=2²에서 x=2이다. |
| 근의 검토 | 대수적 근을 원래 식의 범위와 대조한다. |
정답
④2
핵심 발상
2x를 t로 치환하면 t²−3t−4=0이지만, t=2x>0 조건 때문에 음의 근은 원래 방정식의 근이 될 수 없다.
단계별 해설
t=2x>0으로 두면
22x=(2x)²=t²이므로
t²−3t−4=0
22x=(2x)²=t²이므로
t²−3t−4=0
(t−4)(t+1)=0
따라서 t=4 또는 t=−1
따라서 t=4 또는 t=−1
t=2x>0이므로 t=−1은 버리고 t=4만 남긴다.
2x=4=2²이므로 x=2
실근이 하나뿐이므로 그 합도 2이다. 정답은 ④이다.
오답 선지의 이유
- ①t=−1을 지수값으로 허용하고 x를 잘못 만든 경우이다.
- ②이차방정식의 근 −1을 x의 근으로 직접 읽은 오류이다.
- ③2x=2에서 나오는 근을 잘못 선택한 경우이다.
- ④정답. 양수 근 t=4만 선택해 x=2를 얻었다.
- ⑤치환식의 계수를 잘못 전개한 경우이다.
