지구의 겉넓이는 고등수학으로 답을 찾아보자

지구는 완전한 구가 아닌데, 겉넓이는 어떻게 계산할 수 있는가: 타원과 구의 방정식으로 만드는 지구 모형

지구의 모양을 단순하게 생각하면 반지름이 일정한 구로 볼 수 있다. 그러나 실제와 같이 자전에 의해 적도 방향이 조금 더 길고 극 방향이 조금 더 짧은 천체는 회전타원체로 나타내는 것이 더 적절하다.

이 문제에서는 계산을 간결하게 하기 위해 실제 지구의 수치를 그대로 사용하지 않고, 다음과 같이 새롭게 설정한 교육용 지구 모형 E를 사용한다.

지구의 중심을 원점 O로 하고 자전축을 z축으로 잡는다. 적도반지름을 a = 6000 km, 극반지름을 b = 500√143 km 로 한다.

따라서 xz평면에서 지구의 남북 단면은 장축이 적도 방향인 타원이 되고, 이 타원을 z축 둘레로 회전시키면 지구 모형 E가 만들어진다. 비교를 위해 적도반지름과 같은 반지름 6000 km를 갖는 구 모형 S도 함께 생각한다.

(1) 반지름이 6000 km인 구 모형 S의 방정식을 세우고, 그 겉넓이를 구하시오.

(2) 지구 모형 E의 xz평면 단면이 적도반지름 a, 극반지름 b를 갖는 타원임을 이용하여 그 타원의 방정식을 세우시오.

(3) (2)의 타원을 z축 둘레로 회전시켰을 때 만들어지는 3차원 회전타원체의 방정식이

이 됨을 설명하시오.

(4) 회전타원체의 이심률을 e = √(1 − b²/a²) 로 정의할 때, 이 지구 모형의 이심률이 e = 1/12 임을 보이시오.

수학적 결론

지구의 겉넓이를 구하는 문제는 단순히 하나의 공식을 선택하는 문제가 아니다. 지구를 완전한 구로 가정하면 구의 방정식과 4πr²을 이용해 간단하게 계산할 수 있다. 그러나 적도반지름과 극반지름의 차이를 반영하려면 남북 단면을 타원의 방정식으로 나타내고, 그 타원을 회전시킨 회전타원체의 겉넓이를 계산해야 한다.

특히 이심률 e는 타원체가 구에서 얼마나 벗어나 있는지를 나타낸다. e가 0에 가까워지면 적도반지름과 극반지름의 차이가 사라지고, 회전타원체의 겉넓이 공식도 자연스럽게 구의 겉넓이 공식 4πa²으로 수렴한다. 따라서 구와 타원체는 서로 완전히 다른 모형이 아니라, 하나의 모형이 다른 모형으로 연속적으로 이어지는 관계에 있다.

결국 수학적 모델링에서 중요한 것은 현실을 무조건 가장 복잡하게 표현하는 것이 아니라, 어느 정도의 오차를 허용할 것인지와 어떤 목적으로 계산하는지를 판단하여 적절한 모형을 선택하는 것이다.