수학Ⅱ · 함수의 극한과 연속 · 킬러 분석

삼차함수와 절댓값을 이용한 좌극한·우극한 활용 심화

검토: 청랑학습코칭 수학 연구팀 | 유형: 조건 추론형 객관식

학습 목표 및 범위: 본 학습 자료는 고등학교 2학년 및 3학년(수능 준비생)을 대상으로, 수학Ⅱ ‘함수의 극한과 연속’ 단원에서 빈출되는 삼차함수와 절댓값의 합성 방정식 실근 개수 추론 고난도 킬러 문항을 다룹니다. 절댓값을 포함한 삼차함수의 그래프 개형을 통해 교점 개수 함수 $f(x)$의 불연속점을 파악하고, 연속함수 $g(x)$와의 곱 $h(x)=f(x)g(x)$가 연속이 되기 위한 대수적 조건을 단계별로 해결하는 능력을 기릅니다.

문항 번호	단원 및 핵심 개념	난이도	예상 소요 시간
실전 1번	삼차함수 절댓값 방정식의 실근 개수 및 곱의 연속성	★★★ 심화	5분

난이도: ★★★ 조건 추론형

[문제 1] 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $g(x)$와 실수 $x$에 대하여 $t$에 대한 방정식

$$|t^3 - 3t^2| = x$$

의 서로 다른 실근의 개수를 $f(x)$라 하자. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(5)$의 값은?

(가) $\displaystyle \lim_{x \to 4+} h(x) – \lim_{x \to 4-} h(x) = -8$

(나) 함수 $h(x)$는 $x=0$에서 연속이다.

① 6
② 8
③ 10
④ 12
⑤ 14

정답 ③ 10

핵심 도출 근거: 조건 (나)에 의해 $g(0) = 0$이 도출되어 $g(x) = x^2 + px$로 설정되며, 조건 (가)의 좌우극한 차 $2g(4) – 4g(4) = -8$로부터 $g(4) = 4, p = -3$이 확정되므로 $g(5) = 25 – 15 = 10$입니다.

핵심 개념: 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성

1. 곱함수의 연속 조건: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 좌극한과 우극한이 서로 다른 유한 확정값으로 불연속일 때, 모든 실수에서 연속인 다항함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 $x=a$에서 연속이 되기 위한 필요충분조건은 $g(a) = 0$입니다.

2. 삼차함수 절댓값의 교점 해석: $y=|t^3 – 3t^2|$의 그래프는 $t=2$에서 극댓값 $4$를 가지며, $x$축과의 교점 개수는 $x$의 범위에 따라 불연속적으로 전환됩니다.

단계별 상세 풀이 과정

Step 1

함수 $f(x)$의 구간별 함숫값 및 극한값 결정

곡선 $y = |t^3 – 3t^2|$와 직선 $y = x$의 교점을 조사합니다. $t=2$에서 극댓값 4를 갖습니다.

f(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 2 & (x = 0) \\ 4 & (0 < x < 4) \\ 3 & (x = 4) \\ 2 & (x > 4) \end{cases}

Step 2

조건 (나)를 이용한 $g(0)$ 및 이차함수 기본형 설정

$h(x) = f(x)g(x)$가 $x=0$에서 연속이므로 좌우 극한값이 같아야 합니다.

\lim_{x \to 0-} h(x) = 0 \times g(0) = 0, \quad \lim_{x \to 0+} h(x) = 4 \times g(0)

따라서 $4g(0) = 0 \implies g(0) = 0$입니다. 최고차항 계수가 1인 이차함수이므로 일차항 계수를 $p$로 두면 다음과 같습니다.

$$g(x) = x^2 + px$$

Step 3

조건 (가)의 극한 차를 통한 미정계수 $p$ 산출

$x \to 4$에서의 우극한과 좌극한을 대입합니다.

\lim_{x \to 4+} h(x) = 2g(4), \quad \lim_{x \to 4-} h(x) = 4g(4)

조건 (가)의 차이 식에 대입합니다.

2g(4) – 4g(4) = -8 \implies -2g(4) = -8 \implies g(4) = 4

$g(x) = x^2 + px$에 $x=4$를 대입하여 $p$를 구합니다.

4^2 + 4p = 4 \implies 16 + 4p = 4 \implies 4p = -12 \implies p = -3

따라서 완성된 이차함수는 $g(x) = x^2 – 3x$입니다.

Step 4

목표값 $g(5)$ 연산

$$g(5) = 5^2 - 3(5) = 25 - 15 = 10$$

오답 분석: 수험생이 가장 자주 범하는 함정

오답 ①(6)을 선택한 원인: 삼차함수 그래프의 극댓값을 잘못 도출하거나 $g(4)$ 계산 시 부호 실수를 범한 경우입니다.
오답 ②(8)를 선택한 원인: $x=0$에서의 극한 분석 과정에서 $g(0) = 0$ 조건을 누락하여 계산한 경우입니다.
오답 ④(12)를 선택한 원인: 조건 (가)의 좌우극한 차 계산 순서를 혼동하여 $p$값을 잘못 산출한 경우입니다.

단원 핵심 요약 및 판단 기준

방정식 $|g(t)|=x$의 실근 개수 함수 $f(x)$는 삼차함수의 극값 및 경계 접점에서 불연속을 형성한다.
좌우 극한의 차이가 주어진 조건식은 불연속 계수와 다항함수 함숫값의 일차방정식으로 환원된다.
연속함수와 불연속함수의 곱이 연속이 되려면 불연속 지점에서 연속함수가 $0$이어야 한다.

좌극한 우극한 활용 고난도 문제

삼차함수와 절댓값을 이용한 좌극한·우극한 활용 심화

핵심 개념: 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성