전자기학에서 삼각함수가 꼭 필요한 이유?
수학 / 삼각함수 · 미분 · 적분 · 위상 · 전자기 유도 · 전자기파 · 심층 수리논술
전자기학에는 왜 사인과 코사인이 반복해서 등장하는가: 발전기에서 전자기파까지
[출제 의도]
회전하는 코일에서 자기선속이 코사인함수로 표현되고 이를 미분하면 교류 기전력이 사인함수로 나타나는 과정을 분석한다. 또한 전압과 전류 사이의 위상차가 실제 평균전력에 어떤 영향을 주는지를 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식과 정적분을 이용하여 증명한다. 마지막으로 서로 반대 방향으로 진행하는 전자기파의 중첩에서 정상파가 만들어지는 과정을 삼각함수의 합차공식으로 유도하고, 공진기의 허용 주파수가 경계조건과 삼각함수의 영점에 의해 결정되는 이유를 논증하도록 한다.
회전하는 코일에서 자기선속이 코사인함수로 표현되고 이를 미분하면 교류 기전력이 사인함수로 나타나는 과정을 분석한다. 또한 전압과 전류 사이의 위상차가 실제 평균전력에 어떤 영향을 주는지를 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식과 정적분을 이용하여 증명한다. 마지막으로 서로 반대 방향으로 진행하는 전자기파의 중첩에서 정상파가 만들어지는 과정을 삼각함수의 합차공식으로 유도하고, 공진기의 허용 주파수가 경계조건과 삼각함수의 영점에 의해 결정되는 이유를 논증하도록 한다.
[문제 1] 발전기에서는 왜 코사인을 미분하면 교류가 만들어지는가 (기초·응용 역량)
넓이가 A인 코일이 일정한 자기장 안에서
각속도 ω로 회전하고 있다고 하자.
코일 면에 수직인 방향과 자기장의 방향 사이의 각을
θ라 하면
이다.
자기장의 세기를 B라 할 때
한 번 감긴 코일을 지나는 자기선속을
라고 한다.
코일은 모두 N번 감겨 있다고 하자.
전자기 유도 법칙에 따라 유도 기전력 E(t)는
로 주어진다고 한다.
(1) 자기선속에 cos(ωt)가 등장하는 이유를 회전하는 코일의 넓이를 자기장 방향으로 투영한다는 관점에서 설명하시오.
(2) 자기선속을 미분하여
임을 증명하시오.
(3) 자기선속이 최대일 때 기전력이 0이고, 자기선속이 0일 때 기전력의 절댓값이 최대가 되는 이유를 함수와 도함수의 관계를 이용하여 설명하시오.
(4)
일 때 기전력의 최댓값을 구하시오.
(5) 이 교류의 주기와 진동수를 구하시오.
(6) ω를 2배로 만들면 기전력의 진동수와 최대 진폭이 각각 어떻게 변하는지 설명하시오.
θ = ωt
Φ(t) = BA cos(ωt)
전자기 유도 법칙에 따라 유도 기전력 E(t)는
E(t)
=
−N dΦ/dt
(1) 자기선속에 cos(ωt)가 등장하는 이유를 회전하는 코일의 넓이를 자기장 방향으로 투영한다는 관점에서 설명하시오.
(2) 자기선속을 미분하여
E(t)
=
NBAω sin(ωt)
(3) 자기선속이 최대일 때 기전력이 0이고, 자기선속이 0일 때 기전력의 절댓값이 최대가 되는 이유를 함수와 도함수의 관계를 이용하여 설명하시오.
(4)
N = 100,
B = 0.5 T,
A = 0.02 m²,
ω = 100π
(5) 이 교류의 주기와 진동수를 구하시오.
(6) ω를 2배로 만들면 기전력의 진동수와 최대 진폭이 각각 어떻게 변하는지 설명하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
[문제 풀이]
코일의 전체 넓이는 A로 일정하지만, 자기장의 방향에서 바라보이는 유효한 투영넓이는
이다.
코일이 일정한 각속도로 회전하므로
θ = ωt이고,
가 된다.
이를 미분하면
이므로
이다.
cos 함수가 최대 또는 최소인 지점에서는 그 순간 기울기가 0이다. 따라서 자기선속이 최대 또는 최소일 때 자기선속의 순간변화율은 0이므로 기전력도 0이다. 반대로 cos 함수가 0을 지날 때는 기울기의 절댓값이 가장 크므로 기전력의 절댓값도 최대가 된다.
기전력의 진폭은
이므로 최대 기전력은
이다.
주기는
초이므로 진동수는
이다.
ω를 2배로 하면
이므로 진동수도 2배가 된다.
또한
이므로 최대 기전력 역시 2배가 된다.
코일의 전체 넓이는 A로 일정하지만, 자기장의 방향에서 바라보이는 유효한 투영넓이는
A cos θ
Φ(t)
=
BA cos(ωt)
이를 미분하면
dΦ/dt
=
−BAω sin(ωt)
E(t)
=
NBAω sin(ωt)
cos 함수가 최대 또는 최소인 지점에서는 그 순간 기울기가 0이다. 따라서 자기선속이 최대 또는 최소일 때 자기선속의 순간변화율은 0이므로 기전력도 0이다. 반대로 cos 함수가 0을 지날 때는 기울기의 절댓값이 가장 크므로 기전력의 절댓값도 최대가 된다.
기전력의 진폭은
E0
=
NBAω
= 100 × 0.5 × 0.02 × 100π = 100π
= 100 × 0.5 × 0.02 × 100π = 100π
100π V
주기는
T
=
2π/ω
=
2π/(100π)
=
1/50
f = 50 Hz
ω를 2배로 하면
f = ω/(2π)
E0 = NBAω
도해 1. 회전운동이 사인파 교류로 변하는 과정
핵심 결과: 회전하는 코일의 자기선속은 cos(ωt), 유도 기전력은 그 변화율이므로 sin(ωt)에 비례하며 두 함수 사이에는 π/2의 위상차가 존재한다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 | 배점 |
|---|---|---|
| 회전과 삼각함수 | 투영넓이를 이용하여 자기선속에 cos가 등장하는 이유를 설명함. | 10점 |
| 미분과 기전력 | 전자기 유도식에서 사인 형태의 기전력을 유도하고 진폭·주기·진동수를 정확히 해석함. | 15점 |
[문제 2] 전압과 전류의 위상차는 실제 전력에 어떤 영향을 주는가 (응용 역량)
어떤 교류 장치에 걸리는 전압과 흐르는 전류가
로 주어진다고 하자.
여기서 φ는 전압과 전류 사이의 위상차이다.
순간전력을
라 하자.
다음 삼각함수 공식을 사용할 수 있다.
(1) 순간전력이
임을 증명하시오.
(2) 주기 T = 2π/ω에 대하여
임을 보이시오.
(3) 따라서 한 주기 동안의 평균전력이
임을 증명하시오.
(4) 다음과 같이 정의한다.
평균전력을
로 나타낼 수 있음을 보이시오.
(5)
일 때 평균전력을 구하시오.
(6) 같은 전압과 전류의 크기를 가지더라도 φ = 0일 때와 φ = π/3일 때 실제 평균전력이 서로 다른 이유를 설명하시오.
(7) cos φ를 이 문제에서 역률이라고 한다. 역률이 1에 가까울수록 같은 전압과 전류에서 실제로 전달되는 평균전력이 커지는 이유를 삼각함수의 관점에서 논술하시오.
v(t) = V0 cos(ωt),
i(t) = I0 cos(ωt−φ)
i(t) = I0 cos(ωt−φ)
p(t) = v(t)i(t)
다음 삼각함수 공식을 사용할 수 있다.
cos A cos B
=
[cos(A−B) + cos(A+B)]/2
(1) 순간전력이
p(t)
=
(V0I0/2)
[
cos φ
+
cos(2ωt−φ)
]
(2) 주기 T = 2π/ω에 대하여
(1/T)
∫0T
cos(2ωt−φ) dt
=
0
(3) 따라서 한 주기 동안의 평균전력이
P
=
(V0I0/2) cos φ
(4) 다음과 같이 정의한다.
Vrms = V0/√2,
Irms = I0/√2
Irms = I0/√2
P
=
VrmsIrms cos φ
(5)
Vrms = 220 V,
Irms = 10 A,
φ = π/3
(6) 같은 전압과 전류의 크기를 가지더라도 φ = 0일 때와 φ = π/3일 때 실제 평균전력이 서로 다른 이유를 설명하시오.
(7) cos φ를 이 문제에서 역률이라고 한다. 역률이 1에 가까울수록 같은 전압과 전류에서 실제로 전달되는 평균전력이 커지는 이유를 삼각함수의 관점에서 논술하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
[문제 풀이]
순간전력은
이다.
곱을 합으로 바꾸는 공식에서
로 두면
이다.
두 번째 항의 한 주기 평균은
이다.
T=2π/ω이므로
이고 사인함수의 주기성에 의해 두 끝값이 같으므로 적분값은 0이다.
따라서 평균전력은
이다.
그런데
이므로
이다.
수치를 대입하면
이므로 평균전력은
이다.
만약 φ=0이면
이므로 평균전력은 2200 W이다.
반면 φ=π/3이면 평균전력은 그 절반인 1100 W이다.
즉 전압과 전류의 최대 크기만으로 실제 전달되는 평균전력을 결정할 수 없으며,
두 파형이 시간축에서 얼마나 어긋나 있는지 나타내는
위상차도 중요하다.
순간전력은
p(t)
=
V0I0
cos(ωt)
cos(ωt−φ)
A=ωt,
B=ωt−φ
p(t)
=
(V0I0/2)
[
cos φ
+
cos(2ωt−φ)
]
두 번째 항의 한 주기 평균은
(1/T)
∫0T
cos(2ωt−φ)dt
= 1/(2ωT) [ sin(2ωt−φ) ]0T
= 1/(2ωT) [ sin(2ωt−φ) ]0T
2ωT = 4π
따라서 평균전력은
P
=
(V0I0/2)cosφ
V0
=
√2Vrms,
I0
=
√2Irms
P
=
VrmsIrmscosφ
수치를 대입하면
P
=
220 × 10 × cos(π/3)
=
2200 × 1/2
=
1100
1100 W
만약 φ=0이면
cos0 = 1
도해 2. 같은 진동수라도 위상차가 존재할 수 있다
핵심 결과: 교류의 평균전력은 전압과 전류의 크기뿐 아니라 위상차에도 의존하며 P = VᵣₘₛIᵣₘₛ cosφ이다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 | 배점 |
|---|---|---|
| 삼각함수 변환 | 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용하여 순간전력을 정확히 변형함. | 10점 |
| 평균값 증명 | 주기적 항의 평균이 0임을 정적분으로 증명하고 평균전력을 유도함. | 15점 |
| 위상 해석 | cosφ를 이용하여 위상차와 실제 전달 전력 사이의 관계를 설명함. | 10점 |
[문제 3] 전자기파의 주파수는 왜 공간의 크기에 따라 정해지는가 (심층 사고력)
한 방향으로 진행하는 전자기파의 전기장이
로 주어진다고 하자.
반대 방향으로 진행하며 경계에서 반사된 파를
라고 한다.
여기서
이다.
다음 공식을 사용할 수 있다.
(1) 두 전기장을 합한 전체 전기장이
임을 증명하시오.
(2) 이 식에서는 공간에 따른 함수와 시간에 따른 함수가 곱으로 분리되어 있다. 다음 문장을 설명하시오.
(3) 전기장이 모든 시간에 대하여 항상 0이 되는 위치를 마디라고 한다. 마디의 위치가
임을 보이시오.
(4) 길이가 L인 전자기 공진기의 양 끝
에서 전기장이 항상 0이어야 한다고 하자.
이 조건으로부터
임을 보이고,
임을 증명하시오.
(5) 전자기파의 진행속도를 c라 하고
라 할 때 허용되는 공진주파수가
임을 보이시오.
(6)
일 때 가장 낮은 공진주파수 f1을 구하시오.
(7) L이 1% 증가하면 기본 공진주파수 f1은 약 몇 % 변하는지 설명하시오.
(8) 다음 주장에 대하여 논술하시오.
E1(x,t)
=
E0
cos(kx−ωt)
E2(x,t)
=
−E0
cos(kx+ωt)
k = 2π/λ,
ω = 2πf
다음 공식을 사용할 수 있다.
cos A − cos B
=
−2 sin[(A+B)/2]
sin[(A−B)/2]
(1) 두 전기장을 합한 전체 전기장이
E(x,t)
=
2E0
sin(kx) sin(ωt)
(2) 이 식에서는 공간에 따른 함수와 시간에 따른 함수가 곱으로 분리되어 있다. 다음 문장을 설명하시오.
“진행파 두 개가 합쳐져 공간적으로 고정된 마디를 갖는 정상파가 만들어졌다.”
(3) 전기장이 모든 시간에 대하여 항상 0이 되는 위치를 마디라고 한다. 마디의 위치가
x
=
nλ/2
(n=0,1,2,…)
(4) 길이가 L인 전자기 공진기의 양 끝
x=0,
x=L
kL=nπ
λn
=
2L/n
(5) 전자기파의 진행속도를 c라 하고
c=fλ
fn
=
nc/(2L)
(6)
L=0.15 m,
c=3×108 m/s
(7) L이 1% 증가하면 기본 공진주파수 f1은 약 몇 % 변하는지 설명하시오.
(8) 다음 주장에 대하여 논술하시오.
“전자기파의 주파수는 전원에서만 결정되므로 장치의 크기와는 관계가 없다.”
삼각함수의 영점, 정상파, 경계조건, 공진주파수의 관계를 이용하여 논증하시오.
해설 및 모범 채점 기준 확인하기
[문제 풀이]
두 파를 더하면
이다.
합차공식을 이용하면
를 얻는다.
진행파에서는
와 같이 공간과 시간이 하나의 위상 안에 결합되어 있다.
그러나 정상파에서는
로 분리된다.
따라서 진폭
은 위치에 따라 정해지고,
그 모양 자체가 공간을 이동하지 않는다.
마디에서는 모든 t에 대하여 전기장이 0이어야 하므로
이어야 한다.
따라서
이다.
k=2π/λ이므로
이다.
공진기의 오른쪽 끝 x=L도 마디여야 하므로
이고,
이다.
따라서
이다.
또한 c=fλ이므로
이다.
가장 낮은 공진주파수는 n=1일 때이므로
이다.
따라서
이다.
기본 공진주파수는
이므로 L에 반비례한다.
길이가 1% 증가하여
이 되면
이므로 공진주파수는 약 0.99% 감소한다.
따라서 외부 전원이 임의의 주파수를 만들 수 있다고 하더라도 공진기 내부에서는 모든 주파수가 동일하게 허용되는 것이 아니다. 경계에서 전기장이 특정 조건을 만족해야 하므로 공간 안에 정확히 일정 개수의 반파장이 들어맞는 주파수에서 정상파가 형성된다. 결국 장치의 길이와 형태는 삼각함수의 영점 조건을 통하여 허용되는 공진주파수를 결정한다.
두 파를 더하면
E
=
E0
[
cos(kx−ωt)
−
cos(kx+ωt)
]
E(x,t)
=
2E0
sin(kx)sin(ωt)
진행파에서는
kx−ωt
sin(kx) × sin(ωt)
2E0|sin(kx)|
마디에서는 모든 t에 대하여 전기장이 0이어야 하므로
sin(kx)=0
kx=nπ
x
=
nπ/k
=
nλ/2
공진기의 오른쪽 끝 x=L도 마디여야 하므로
sin(kL)=0
kL=nπ
(2π/λ)L=nπ
λn=2L/n
λn=2L/n
또한 c=fλ이므로
fn
=
c/λn
=
nc/(2L)
가장 낮은 공진주파수는 n=1일 때이므로
f1
=
3×108
/
(2×0.15)
=
109
f1 = 1 GHz
기본 공진주파수는
f1
=
c/(2L)
L → 1.01L
f1,new
=
f1/1.01
≈
0.9901f1
따라서 외부 전원이 임의의 주파수를 만들 수 있다고 하더라도 공진기 내부에서는 모든 주파수가 동일하게 허용되는 것이 아니다. 경계에서 전기장이 특정 조건을 만족해야 하므로 공간 안에 정확히 일정 개수의 반파장이 들어맞는 주파수에서 정상파가 형성된다. 결국 장치의 길이와 형태는 삼각함수의 영점 조건을 통하여 허용되는 공진주파수를 결정한다.
도해 3. 공진기 안에 허용되는 정상파
결론: 정상파의 경계조건 sin(kL)=0에 의해 λₙ=2L/n, fₙ=nc/(2L)이 결정되며, 길이 0.15 m인 공진기의 기본 공진주파수는 1 GHz이다.
| 평가 요소 | 채점 기준 및 감점 요인 | 배점 |
|---|---|---|
| 파동의 중첩 | 합차공식을 이용하여 진행파와 반사파로부터 정상파 식을 정확히 유도함. | 10점 |
| 경계조건과 공진 | 삼각함수의 영점을 이용하여 λₙ=2L/n과 fₙ=nc/(2L)을 증명함. | 15점 |
| 전자기학적 논술 | 장치의 크기와 전자기파의 공진주파수가 삼각함수의 경계조건을 통해 연결됨을 논증함. | 10점 |
수학적 결론
전자기학에서 삼각함수가 반복해서 등장하는 이유는
많은 전자기 현상이 회전·진동·파동이라는 주기적 구조를 갖기 때문이다.
발전기에서는 회전하는 코일을 한 방향으로 투영하면서
자기선속이 cos 함수로 나타나고,
이를 시간에 대하여 미분하면 sin 형태의 교류 기전력이 만들어진다.
즉 삼각함수와 미분의 관계가 실제 전기에너지 생성 과정과 연결된다.
교류 회로에서는 전압과 전류가 같은 주파수로 진동하더라도
서로 다른 위상을 가질 수 있다.
두 삼각함수의 곱을 한 주기 동안 평균하면
cosφ가 남으며,
이 값이 실제 평균전력을 결정하는 중요한 요소가 된다.
따라서 위상은 단순한 그래프의 위치 차이가 아니라 실제 에너지 전달량과 연결된다.
전자기파에서는 sin(kx−ωt) 또는 cos(kx−ωt)가
공간과 시간에 따라 이동하는 파동을 나타낸다.
반사파가 중첩되면 삼각함수의 합차공식에 의해 정상파가 만들어지고,
공간의 경계에서는 삼각함수의 영점 조건이 만족되어야 한다.
이 조건이 허용 가능한 파장과 공진주파수를 결정한다.
따라서 전자기학에서 삼각함수는 단순히 반복되는 그래프를 나타내는 도구가 아니라
회전을 전압으로 변환하고, 위상에 따른 에너지 전달을 계산하며,
전자기파의 진행·간섭·공진을 결정하는 수학적 언어라고 할 수 있다.
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