현위치를 어떻게 찾아내는지 수학적으로 증명하라

위성 신호는 어떻게 현재 위치를 찾아내는가: 원과 구의 교점으로 증명하는 위성항법의 수학

항법 위성은 자신의 위치와 신호를 보낸 시각을 전파에 실어 보낸다. 수신기는 신호가 도착한 시각과 발신 시각의 차이인 Δt를 측정한다. 전파의 속력을 c라고 하면 위성과 수신기 사이의 거리는 r = cΔt로 계산된다. 따라서 한 위성에서 같은 거리에 있는 모든 후보 지점은 평면에서는 원, 공간에서는 구를 이룬다.

다음 문제에서는 원리를 분명하게 드러내기 위해 실제 지구 규모를 축소한 직교좌표 모형을 사용한다. 거리의 단위는 km이며, 전파의 속력은 c = 3 × 10⁵ km/s로 둔다. 각 위성의 좌표는 이미 정확히 알려져 있다고 가정한다.

평면좌표에서 두 위성 S₁, S₂의 위치가 각각 S₁(0, 0), S₂(8, 0)이다. 수신기 P(x, y)의 시계가 위성의 시계와 정확히 동기화되어 있으며, 두 위성의 신호는 모두 발신 후 1/60,000초 만에 수신기에 도착하였다.

(1) P가 두 위성을 중심으로 하는 두 원 위에 놓인다는 사실을 식으로 나타내시오.
(2) P가 x축 위쪽에 있다는 조건을 이용하여 P의 좌표를 구하시오.
(3) 두 원의 방정식을 빼면 이차항이 소거되는 이유와, 그 결과가 두 원의 공통현인 근축의 방정식이 되는 이유를 설명하시오.

공간좌표에서 세 위성의 위치가 S₁(0, 0, 0), S₂(6, 0, 0), S₃(0, 8, 0)이고, 시계가 정확히 동기화된 수신기 P(x, y, z)는 세 위성에서 모두 13 km 떨어져 있다.

(1) 세 구의 방정식을 세우고 P의 후보 좌표를 모두 구하시오.
(2) 수신기가 xy평면의 위쪽에 있다는 조건으로 실제 위치를 정하시오.
(3) 평면의 두 원에서 공간의 세 구로 차원이 높아질 때, 교집합이 차례로 어떻게 줄어드는지 설명하시오.

수학적 결론

위성항법은 위성이 수신기의 위치를 직접 바라보고 알려 주는 기술이 아니다. 각 신호의 이동 시간을 거리로 바꾸고, 여러 구면의 공통점을 연립방정식으로 계산하는 기술이다. 이상적인 3차원 모형에서는 세 거리 조건으로 위치 후보를 찾을 수 있지만, 실제 수신기에는 시계 편향이라는 추가 미지수가 있으므로 네 번째 위성의 방정식이 필요하다. 결국 현재 위치는 속력과 시간의 관계, 두 점 사이의 거리, 원과 구의 방정식, 연립방정식이 결합되어 얻어지는 수학적 해이다.