역함수 대칭과 좌표 관계
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
08. 역함수 대칭과 좌표 관계
지수함수와 역함수 · 직선 y=x 대칭 · 두 점 사이 거리
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 역함수와 대칭
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 상
역함수의 그래프가 y=x에 대칭이라는 사실을 좌표와 거리식으로 연결해 밑을 결정하는 문항이다.
[가] 지수함수와 역함수
밑 a>1인 지수함수 f(x)=ax와 그 역함수 f−1을 생각한다.
f의 그래프 위 점 P의 x좌표가 2이고, P를 직선 y=x에 대칭시킨 점을 P’라 하자. P는 직선 y=x의 위쪽에 있다.
PP’=4√2
[나] 역함수의 좌표
역함수의 그래프는 원래 그래프를 y=x에 대칭시킨 것이므로 P와 P’의 좌표를 서로 바꾸어 나타낼 수 있다.
밑 a의 값은? [4점]
주어진 조건
•f(x)=ax, a>1이고 P는 f의 그래프 위에서 x좌표가 2인 점이다.
•P’는 P의 y=x 대칭점, P는 y=x의 위쪽, PP’=4√2이다.
수학 개념
Math Terms| 역함수의 대칭 | f와 f−1의 그래프는 y=x에 대칭이다. |
|---|---|
| 거리 공식 | 두 좌표의 차를 이용해 평면에서의 거리를 계산한다. |
| 절댓값 | 점의 위치 조건으로 a²−2의 부호를 결정한다. |
| 밑의 조건 | a>1이므로 a²=6에서 양의 제곱근만 선택한다. |
정답
①√6
핵심 발상
P=(2,a²), P’=(a²,2)로 놓는다. 대칭점의 좌표와 거리식을 함께 사용하고, P가 위쪽이라는 조건으로 절댓값의 부호를 정한다.
단계별 해설
P=(2,a²), P’=(a²,2)
PP’=√((a²−2)²+(2−a²)²)
=√2|a²−2|=4√2
=√2|a²−2|=4√2
P가 y=x의 위쪽이므로 a²>2이다. 따라서 |a²−2|=a²−2이고
a²−2=4 → a²=6
a>1이므로 a=√6
a>1이므로 a=√6
정답은 ①이다. a=−√6은 밑의 조건 a>1에 어긋난다.
오답 선지의 이유
- ①정답. 대칭 좌표와 거리식을 이용해 a²=6을 얻었다.
- ②거리의 √2를 제거하는 과정에서 a²−2를 2로 잘못 둔 경우이다.
- ③P의 x좌표 2를 밑으로 착각했다.
- ④a²=4로 잘못 계산한 경우이다.
- ⑤a²=9로 잘못 계산하거나 거리의 두 성분을 한 번만 센 경우이다.
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