소인수분해를 이용한 제곱수 만들기
소인수분해를 이용한 제곱수 만들기
학습 목표 및 출제 의도: 본 문제는 중학교 1학년 1학기 ‘소인수분해’ 단원의 대표적인 응용 유형인 어떤 자연수의 제곱이 되도록 곱하는 수의 조건을 다룹니다. 소인수분해를 통해 지수가 홀수인 소인수를 파악하고, 단순 최솟값 암기를 넘어 ‘두 자리 자연수 중 가장 작은 수’라는 제한 조건을 논리적으로 만족하는 수 $a$와 그 결과인 제곱수 $b^2$을 정확히 추론하는 능력을 점검합니다.
| 문항 번호 | 단원 및 핵심 성취기준 | 난이도 | 권장 풀이 시간 |
|---|---|---|---|
| 개념 응용 1번 | 소인수분해를 이용한 제곱수의 성질 추론 및 지수 조건 판정 | ★★☆ 실력 완성 | 2분 30초 |
[문제 1] 자연수 $150$에 자연수 $a$를 곱하여 어떤 자연수 $b$의 제곱이 되도록 하려고 한다.
곱할 수 있는 자연수 $a$ 중 두 자리 자연수이면서 가장 작은 수를 택할 때, $a+b$의 값을 구하시오.
- ① 36
- ② 60
- ③ 72
- ④ 84
- ⑤ 96
핵심 도출 근거: $150 = 2 \times 3 \times 5^2$이므로, 지수를 모두 짝수로 만들기 위한 기본 조건은 $a = 6 \times k^2$ ($k$는 자연수)입니다. 두 자리 자연수 중 가장 작은 수는 $k=2$일 때 $a = 6 \times 4 = 24$이며, 이때 $150 \times 24 = 3600 = 60^2$이 되어 $b = 60$이 확정됩니다. 따라서 $a+b = 24 + 60 = 84$입니다.
핵심 개념: 제곱수의 성질과 소인수의 지수 조건
1. 제곱수의 소인수분해 특징: 어떤 자연수의 제곱이 되는 수(제곱수)는 소인수분해를 완료했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수이어야 합니다.
2. 곱해야 하는 자연수의 형태: 주어진 수에서 지수가 홀수인 소인수를 각각 1개씩 곱해 짝수로 만든 뒤, 임의의 자연수 제곱을 곱한 형태인 (지수가 홀수인 소인수의 곱) $\times k^2$ ($k$는 자연수) 꼴로 일반화됩니다.
단계별 상세 풀이 과정
주어진 수 $150$의 소인수분해
$150$을 소인수분해하여 지수를 확인합니다.
곱할 수 있는 수 $a$의 일반형 유도
$150 \times a$가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다. 현재 $2$의 지수($1$)와 $3$의 지수($1$)가 홀수이므로, $a$는 최소한 $2$와 $3$을 하나씩 반드시 포함해야 합니다.
따라서 자연수 $a$의 꼴은 다음과 같습니다.
두 자리 자연수 중 가장 작은 수 $a$ 확정
$a = 6 \times k^2$ 식에 자연수 $k$를 작은 수부터 차례로 대입합니다.
- $k=1$일 때: $a = 6 \times 1^2 = 6$ (한 자리 자연수)
- $k=2$일 때: $a = 6 \times 2^2 = 6 \times 4 = 24$ (두 자리 자연수 중 가장 작은 수)
- $k=3$일 때: $a = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$
문제의 조건인 ‘두 자리 자연수이면서 가장 작은 수’를 만족하므로 $a = 24$입니다.
자연수 $b$의 도출 및 $a+b$ 계산
$a = 24$를 대입하여 $150 \times 24$가 어떤 자연수 $b$의 제곱인지 계산합니다.
지수법칙을 적용하여 전체를 제곱 꼴로 묶습니다.
따라서 $b = 60$입니다. 목표값을 최종 계산합니다.
오답 분석: 수험생이 가장 많이 범하는 3대 오류
- 오답 ①(36)을 선택한 원인: ‘두 자리 자연수’라는 세부 제약 조건을 읽지 않고 관성적으로 가장 작은 자연수 $a = 6$을 대입하여 $150 \times 6 = 900 = 30^2 \implies b = 30$을 구한 후, $6 + 30 = 36$으로 계산한 대표적인 실수입니다.
- 오답 ②(60)를 선택한 원인: $a = 24$와 $b = 60$을 바르게 도출했으나, 최종 질문인 $a+b$를 계산하지 않고 $b$의 값만을 그대로 정답으로 체크한 경우입니다.
- 오답 ③(72) 또는 ⑤(96)를 선택한 원인: 지수법칙 묶기 과정에서 $(2^2 \times 3 \times 5)$의 밑을 잘못 곱하거나, $a=24$에 엉뚱한 값을 더한 연산 부주의 사례입니다.
유사 변형 문제로 실력 점검
[유사문제] 자연수 $180$을 자연수 $a$로 나누어 어떤 자연수 $b$의 제곱이 되도록 하려고 한다. 나눌 수 있는 가장 작은 자연수 $a$에 대하여 $a \times b$의 값을 구하시오.
단원 핵심 요약 및 판단 기준
- 어떤 수의 제곱이 되기 위한 필요충분조건은 소인수분해 시 모든 소인수의 지수가 짝수인 것이다.
- 곱하거나 나눌 때 홀수 지수를 가진 소인수를 우선적으로 홀수 개수만큼 조정해야 한다.
- 조건을 만족하는 수들은 항상 (기본 소인수들의 곱) $\times k^2$ 형태로 나열됨을 활용한다.
