미사일 방어 시스템은 어떻게 작동할까?

① 정보 처리 시간 동안에도 표적은 계속 움직인다

관측 후 4.0 s 동안에도 M은 250 m/s의 속력으로 계속 이동한다.

따라서 I가 출발하는 순간 M은 이미 x=1000 m에 있다.

I는 x=4800 m에 있으므로 이 순간 두 물체 사이의 거리는

② 상대속도를 이용하여 만나는 시간을 구한다

두 물체는 서로 마주 보고 운동하므로 두 물체 사이의 거리가 감소하는 속도는

이다.

따라서 I가 출발한 뒤 만날 때까지 걸리는 시간은

이다.

최초 관측 후에는 먼저 4.0 s의 정보 처리 시간이 지났으므로

뒤에 두 물체가 만난다.

③ 두 운동식으로 만남 위치를 확인한다

M은 최초 관측 이후 약 10.33 s 동안 이동하므로

이다.

I는 출발 이후 약 6.33 s 동안 -x 방향으로 이동하므로

이다.

두 운동식으로 계산한 위치가 같으므로 두 물체가 같은 시각에 같은 위치를 갖는다는 것을 확인할 수 있다.

원리를 이해하는 심층 해설

움직이는 표적을 가로막을 때 중요한 것은 표적이 현재 어디에 있는지만 아는 것이 아니다.

관측, 정보 처리 및 이동에는 시간이 필요하며 그동안 표적도 계속 움직인다.

따라서 실제로 두 물체가 만나려면 어떤 미래의 시각 t에서

가 성립해야 한다.

즉 이 상황을 역학적으로 단순화하면 위치 조건과 시간 조건을 동시에 만족하는 교점을 찾는 문제 라고 볼 수 있다.

모범 답안

최초 관측 후 4.0 s 동안 M은 250×4.0=1000 m 이동한다. 따라서 I가 움직이기 시작할 때 M과 I 사이의 거리는 3800 m이다.

두 물체가 서로 마주 보고 있으므로 상대속도는 250+350=600 m/s이고, I의 출발 후 약 6.33 s 뒤에 두 물체가 만난다. 이는 최초 관측 시점에서 약 10.33 s 뒤이다.

M의 운동식과 I의 운동식으로 계산한 위치는 모두 약 x=2583 m이다. 따라서 움직이는 물체를 가로막는 것은 관측 당시의 위치를 향하는 문제와 다르다. 관측 이후에도 표적이 이동하기 때문에 미래의 같은 시각에 두 물체가 같은 위치에 존재하도록 시공간적 교점을 예측해야 한다.

채점 기준 · 30점

① 속력 오차

속력 오차를 Δv라고 하면 시간 t 동안 누적되는 위치 오차는

이다.

따라서 속력 측정 오차만으로도 6초 후 약 48 m의 위치 차이가 발생할 수 있다.

② 측정 시각 오차

M이 250 m/s로 움직인다면 0.10 s 동안 이동하는 거리는

이다.

③ 진행 방향 오차

6.0 s 동안 이동하는 거리는

이다.

따라서 기준 방향에 수직한 위치 오차는

원리를 이해하는 심층 해설

미래 위치는 현재 위치뿐 아니라 속력과 진행 방향, 측정 시각에 의해 결정된다.

따라서 각 물리량의 작은 측정 오차도 시간이 지나면서 공간적인 위치 차이로 바뀔 수 있다.

와 같이 단순한 등속 운동 모델에서는 같은 속력 오차라도 예측 시간이 길수록 위치 오차가 증가한다.

방향 오차 역시 물체가 이동하는 거리가 커질수록 진행 방향에 수직한 위치 차이를 더 크게 만들 수 있다.

모범 답안

속력 측정 오차 ±8 m/s는 6.0 s 후 약 ±48 m의 진행 방향 위치 오차를 만든다. 또한 ±0.10 s의 시각 오차는 약 ±25 m의 위치 차이에 해당한다.

6초 동안 M은 1500 m를 이동하므로 진행 방향이 0.40° 어긋나면 기준 방향에 수직한 위치 차이는 약 10.5 m이다.

이처럼 미래 위치를 예측하려면 현재 위치뿐 아니라 속력, 방향, 측정 시각을 정확하게 알아야 한다. 특히 속력 오차에 의한 위치 오차는 Δx=Δv·t와 같이 시간에 따라 증가하므로 더 먼 미래를 예측할수록 작은 측정 오차의 영향이 커질 수 있다.

채점 기준 · 25점

① 최소 회전 반지름

식

을 r에 대해 정리하면

이다.

A에서는

이다.

B에서는

이다.

② 속력이 1.5배라면 최소 반지름은 2.25배가 된다

최대 횡방향 가속도가 같다면

이므로

이다.

따라서 B의 최소 회전 반지름은 A의 2.25배가 된다.

즉 같은 가속도 제한에서는 속력이 증가할수록 작은 공간 안에서 급격하게 방향을 바꾸기 어려울 수 있다.

③ 90° 방향 전환 시간

원 둘레의 1/4에 해당하는 이동 거리는

이다.

따라서 걸리는 시간은

이다.

여기에 r=v²/a를 대입하면

가 된다.

A 조건

B 조건

원리를 이해하는 심층 해설

속력이 큰 물체가 항상 역학적으로 모든 상황에서 유리한 것은 아니다.

같은 최대 횡방향 가속도에서는 최소 회전 반지름이 v²에 비례한다.

따라서 속력이 증가하면 같은 크기의 가속도로 진행 방향을 바꾸기 위해 더 큰 공간이 필요할 수 있다.

또한 목표가 미래에 어디에 있을지에 대한 예측에도 측정 오차가 존재한다.

결국 두 움직이는 물체의 만남은 단순한 최고 속력 비교가 아니라 상대적인 운동 상태, 미래 위치의 예측 정확도, 실제 가능한 가속도와 방향 변화 를 함께 고려해야 하는 역학 문제이다.

모범 답안

움직이는 표적을 가로막기 위해서는 먼저 상대운동을 고려하여 미래의 같은 시각에 두 물체가 같은 위치에 도달할 수 있는지를 판단해야 한다.

논제 1에서 정보 처리 시간이 존재하면 그동안에도 표적이 움직이기 때문에 관측 당시의 위치만으로는 두 물체의 만남을 결정할 수 없음을 확인하였다.

또한 미래 위치 계산 자체에도 측정 오차가 존재한다. 논제 2에서 속력의 작은 오차가 6초 후 48 m의 위치 차이로 나타났으며 시각과 방향 오차도 공간적인 오차를 만들었다.

마지막으로 더 높은 속력이 항상 더 좋은 방향 전환 능력을 의미하는 것도 아니다. 최대 횡방향 가속도가 일정하면 최소 회전 반지름은 v²에 비례한다.

따라서 속력이 1.5배 증가하면 최소 회전 반지름은 2.25배가 된다. 이 문제의 가정에서는 90° 방향 전환 시간도 약 9.42 s에서 14.14 s로 증가한다.

그러므로 움직이는 물체를 가로막는 문제는 단순한 속력 경쟁으로 볼 수 없다. 상대운동, 미래 위치 예측의 정확성, 그리고 제한된 가속도에서 가능한 방향 변화 능력을 함께 고려해야 한다.

채점 기준 · 45점