로그 성질과 로그 부등식 활용
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
05. 밑의 크기에 따른 로그부등식
밑 a의 두 경우 · 정수 해의 개수 · 경계값 처리
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 로그부등식
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중상
로그함수의 증가·감소를 밑의 크기로 나누고, 포함되는 정수의 개수를 경계값까지 점검하는 문항이다.
[가] 매개변수를 포함한 부등식
실수 a가 a>0, a≠1을 만족할 때, 정수 x의 범위를 3≤x≤12로 제한한다.
loga(x−2) ≥ 2
이 부등식을 만족하는 정수 x가 정확히 3개가 되도록 하는 a의 범위를 구하여라.
[나] 밑에 따른 방향
a>1이면 logax는 증가하고, 0<a<1이면 감소한다. 부등호 방향과 등호 포함 여부를 모두 확인한다.
조건을 만족하는 a의 범위는? [4점]
범위와 개수
•a>0, a≠1이고 x는 3 이상 12 이하의 정수이다.
•loga(x−2)≥2를 만족하는 정수 x의 개수는 정확히 3개이다.
수학 개념
Math Terms| 로그함수의 증가·감소 | 밑이 1보다 크면 증가, 0과 1 사이면 감소한다. |
|---|---|
| 부등식의 등호 | logay≥2에서는 경계 y=a²가 포함된다. |
| 정수 개수 | 연속적인 a의 조건을 정수 y=1,…,10의 포함 여부로 바꾼다. |
| 경계값 | a²=7과 a²=8을 각각 직접 대입해 개수를 확인한다. |
정답
③√7<a≤2√2
핵심 발상
먼저 0
단계별 해설
① 0<a<1인 경우
로그함수가 감소하므로 loga(x−2)≥2는 x−2≤a²를 뜻한다. 그런데 x−2≥1이고 a²<1이므로 해가 없다. 따라서 원하는 경우는 a>1이다.
② a>1인 경우
로그함수가 증가하므로 loga(x−2)≥2는 x−2≥a²이다.
x=3,4,…,12이므로 y=x−2는 1,2,…,10이다.
정확히 세 개가 남으려면 y=8,9,10만 선택되어야 한다.
7<a²≤8
정확히 세 개가 남으려면 y=8,9,10만 선택되어야 한다.
7<a²≤8
a>1이므로 양의 제곱근을 취해
√7<a≤√8=2√2
√7<a≤√8=2√2
따라서 정답은 ③이다. a²=7이면 y=7도 포함되어 네 개가 되고, a²=8이면 y=8이 포함되어 세 개가 되므로 양 끝점의 포함 여부가 다르다.
오답 선지의 이유
- ①a²=7에서 y=7을 제외해 경계의 등호를 잘못 처리했다.
- ②왼쪽 경계만 포함하고 오른쪽 경계는 제외한 경우이다.
- ③정답. 7<a²≤8을 양의 a 범위로 정확히 바꾸었다.
- ④세 번째 정수 y=10까지 필요하다는 조건을 잘못 적용했다.
- ⑤0<a<1에서 로그부등식의 방향만 보고 y의 최소값을 확인하지 않은 경우이다.
