로그함수 밑에 따른 그래프 이해
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
07. 로그함수의 그래프와 교점
수직점근선 · 두 점의 좌표 · 수평선과의 교점
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 로그함수 그래프
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중상
로그함수의 이동형을 두 점의 좌표로 결정한 뒤 수평선과의 교점을 방정식으로 구하는 문항이다.
[가] 로그함수의 이동형
실수 a,b에 대하여
f(x)=log2(x−a)+b
그래프의 수직점근선은 x=a이다.
이 그래프가 두 점 A(3,1), B(9,3)을 지난다고 하자.
[나] 교점의 정의
직선 y=2와 그래프의 교점 중 x좌표를 구하여라. 로그의 정의역도 확인한다.
직선 y=2와 그래프의 교점의 x좌표는? [4점]
그래프 조건
•f(x)=log2(x−a)+b이고 두 점 A(3,1), B(9,3)을 지난다.
•정의역은 x>a이고, 수직점근선은 x=a이다.
수학 개념
Math Terms| 수직점근선 | log2(x−a)+b의 점근선은 x=a이다. |
|---|---|
| 로그의 차 | log A−log B=log(A/B)로 두 점의 조건을 결합한다. |
| 정의역 | x−a>0인 구간에서만 로그함수가 정의된다. |
| 교점 | 직선 y=2를 함수식에 대입해 x를 결정한다. |
정답
④5
핵심 발상
두 점을 대입한 뒤 식을 빼서 로그의 차를 하나의 비로 만든다. 그러면 점근선의 위치 a가 먼저 결정된다.
단계별 해설
A, B를 대입하면
log2(3−a)+b=1
log2(9−a)+b=3
log2(3−a)+b=1
log2(9−a)+b=3
두 식을 빼면
log2((9−a)/(3−a))=2
(9−a)/(3−a)=4
log2((9−a)/(3−a))=2
(9−a)/(3−a)=4
9−a=12−4a이므로 a=1
첫 식에서 log22+b=1이므로 b=0
첫 식에서 log22+b=1이므로 b=0
y=2일 때 log2(x−1)=2
x−1=4이므로 x=5
x−1=4이므로 x=5
x=5는 정의역 x>1도 만족한다. 정답은 ④이다.
오답 선지의 이유
- ①점 A의 x좌표를 교점의 x좌표로 그대로 사용했다.
- ②두 점의 x좌표 차를 교점으로 착각한 값이다.
- ③a=1을 구한 뒤 x−a=2로 잘못 대입했다.
- ④정답. a=1,b=0을 구하고 log₂(x−1)=2를 풀었다.
- ⑤y=2를 진수 x−1에 직접 더한 오류이다.
