로그의 정의를 완벽한 이해가 필요한 문제
청랑학습코칭 고등수학 · 수학Ⅰ
02. 로그의 성질과 밑의 변환
로그의 곱셈·나눗셈 · 밑의 변환 · 기호식 해석
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 로그의 성질
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중
서로 다른 밑의 로그 조건을 자연로그의 비로 통일해 목표 로그를 표현하는 문항이다.
[가] 서로 다른 밑의 로그
다음 두 수를 정의한다.
u=log23, v=log35
모든 로그의 밑은 1이 아닌 양수이고, 진수는 양수이다.
로그의 밑의 변환을 이용해 log512를 u와 v로 나타내어라.
[나] 변환에 사용할 관계
logba = ln a / ln b
ln(AB)=ln A+ln B
log512를 u와 v로 나타낸 것은? [4점]
조건
•u=log23, v=log35로 정의한다.
•로그의 밑의 변환과 곱셈 법칙을 사용할 수 있다.
수학 개념
Math Terms| 밑의 변환 | logba=ln a/ln b로 서로 다른 밑을 같은 기준으로 바꾼다. |
|---|---|
| 로그의 곱셈 법칙 | logb(MN)=logbM+logbN이다. |
| 진수 조건 | 로그의 진수는 양수이고 밑은 1이 아닌 양수여야 한다. |
| 기호식 검산 | u와 v의 정의를 다시 곱해 ln3, ln5의 관계가 맞는지 확인한다. |
정답
②(u+2)/(uv)
핵심 발상
모든 로그를 ln의 비로 바꾸면 ln3=u ln2, ln5=uv ln2가 된다. 분자 ln12도 ln2의 배수로 정리한다.
단계별 해설
u=ln3/ln2 이므로 ln3=u ln2이다.
v=ln5/ln3 이므로 ln5=uv ln2이다.
v=ln5/ln3 이므로 ln5=uv ln2이다.
ln12=ln(3·4)=ln3+2ln2
=(u+2)ln2
=(u+2)ln2
log512=ln12/ln5
=(u+2)ln2/(uv ln2)=(u+2)/(uv)
=(u+2)ln2/(uv ln2)=(u+2)/(uv)
따라서 정답은 ②이다. 밑의 변환 뒤에는 분자와 분모의 공통 인자를 끝까지 약분해야 한다.
오답 선지의 이유
- ①분모의 uv 중 u를 빠뜨린 형태로, ln5=uv ln2를 잘못 옮겼다.
- ②정답. ln12와 ln5를 모두 ln2의 배수로 표현했다.
- ③ln12=ln(3·4)의 2ln2를 잘못 처리한 형태이다.
- ④밑의 변환 과정에서 v를 곱해야 할 곳에 나눈 오류이다.
- ⑤분자와 분모의 공통 ln2를 약분하지 않고 u,v를 임의로 곱한 경우이다.
