로그 정의를 알고 있어야 하는 이유
04. 로그방정식과 정의역
진수의 양수 조건 · 로그의 합 · 부적합한 근 제거
출제 정보
과목: 수학Ⅰ 단원: 지수함수와 로그함수 · 로그방정식
유형: 5지선다형 개념·자료 해석 목표 난도: 중상
로그를 합치기 전 정의역을 설정하고, 계산으로 나온 두 근 중 하나를 제외하는 문항이다.
[가] 로그방정식
실수 x가 다음 방정식을 만족한다고 하자.
log2(x−1)+log2(x+1)=3
[나] 정의역 점검
로그의 진수는 양수이어야 하므로 두 진수의 조건을 동시에 만족하는 x의 범위에서만 식을 변형할 수 있다.
위 방정식의 모든 실근의 합은? [4점]
먼저 확인할 조건
•x−1>0, x+1>0이므로 정의역은 x>1이다.
•정의역 안에서만 log2A+log2B=log2(AB)를 사용한다.
수학 개념
Math Terms| 로그의 정의역 | 각 로그의 진수가 양수여야 한다. |
|---|---|
| 로그의 합 | 같은 밑의 로그 합은 진수의 곱의 로그로 바꾼다. |
| 후보근 | 변형 과정에서 얻은 근은 원래 식의 정의역으로 다시 확인한다. |
| 교집합 | 대수방정식의 해와 로그식의 정의역이 동시에 만족되어야 한다. |
핵심 발상
로그식의 계산보다 먼저 진수 조건 x>1을 기록한다. 그 뒤 곱셈 법칙으로 얻은 이차방정식의 근을 정의역과 대조한다.
단계별 해설
따라서 x>1
(x−1)(x+1)=2³=8
정의역 x>1을 적용하면 x=3만 남는다. 따라서 모든 실근의 합은 3이고 정답은 ⑤이다.
오답 선지의 이유
- ①정의역을 확인한 뒤 x=1이라고 잘못 읽은 경우이다.
- ②로그의 합을 진수의 합으로 바꾼 오류이다.
- ③두 근의 차이나 다른 양을 계산한 경우이다.
- ④정의역 x>1을 적용한 뒤에도 4를 답으로 고른 계산 오류이다.
- ⑤정답. x=−3을 제외하고 유일한 실근 3을 남겼다.
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